Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=4x - x^4(x^3+2)^2025
Aqui vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia. Primeiro reescrevemos
f(x)=u(x),v(x),
onde
u(x)=4x - x^4, v(x)=(x^3+2)^-2025

Passo 2

Derivamos u(x) usando a regra do polinômio:
u'(x)=ddx(4x)-ddx(x^4) =4 - 4x^3

Passo 3

Derivamos v(x) usando a regra da cadeia. Se v(x)=(g(x))^n com g(x)=x^3+2 e n=-2025, então
v'(x)=n,(g(x))^n-1,g'(x) =-2025,(x^3+2)^-2026cdot 3x^2 =-6075,x^2,(x^3+2)^-2026

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v':
f'(x)=(4-4x^3)(x^3+2)^-2025 +(4x - x^4)l(-6075,x^2,(x^3+2)^-2026r)

Passo 5

Para simplificar, fatoramos (x^3+2)^-2026:
f'(x)=(x^3+2)^-2026l[(4-4x^3)(x^3+2) -6075,x^2(4x - x^4)r]
Expandindo o colchete:
(4-4x^3)(x^3+2)=-4x^6-4x^3+8, -6075,x^2(4x - x^4)=6075x^6-24300x^3
Somando:
-4x^6+6075x^6=6071x^6, -4x^3-24300x^3=-24304x^3, +8
Portanto
f'(x)=(x^3+2)^-2026l(6071x^6-24304x^3+8r)

Resposta

f'(x)=6071x^6-24304x^3+8(x^3+2)^2026

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