Questão 3: (Valor 3,0)
(a) Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições 1 <= r <= 2, cos theta <= 0.
(b) Esboce a curva C2: r^2=4 cos 2 theta
© Calcule a área da região limitada por C2.
(d) Determine, mas não avalie, a integral que permite se calcular o comprimento da curva C2.

Passo 1

O enunciado pede: (a) esboçar a região 1≤r≤2 sujeita a cosθ≤0; (b) esboçar a curva polar r²=4
cos2θ; © calcular a área limitada por essa curva; (d) escrever a integral para o comprimento de C₂ sem avaliar. Vamos usar coordenadas polares, conhecer os intervalos de θ onde aparecem as condições e aplicar as fórmulas de área e comprimento em polares.

Passo 2

Para (a), a condição cosθ≤0 implica θ∈[π/2,3π/2], ou seja o semiplano esquerdo. Juntando 1≤r≤2 obtemos uma coroa circular (ou anel) entre os círculos de raio 1 e 2, mas apenas no lado esquerdo do eixo y. O esboço é uma faixa anular carregada à esquerda.

Passo 3

Em (b), temos r²=4
cos2θ. Como r²≥0, exigimos cos2θ≥0, isto é 2θ∈[-π/2,π/2]+kπ ⇒ θ∈[-π/4,π/4]∪[3π/4,5π/4]. Essa equação descreve uma lemniscata de Bernoulli com dois lóbulos simétricos em torno da origem. No esboço, cada lóbulo ocupa um desses intervalos de θ.

Passo 4

Para ©, usamos a fórmula de área em coordenadas polares: A=½∫r²
dθ. Como r²=4
cos2θ, dividimos em dois lóbulos:
A=12integral-pi/4^pi/44cos2θ,dθ+12integral3pi/4^5pi/44cos2θ,dθ

Passo 5

Calculando uma das integrais:
integral-pi/4^pi/44cos2θ,dθ=4[12sin2θ]-pi/4^pi/4=4cdot12(1-(-1))=4
Então cada lóbulo tem área ½·4=2, e somando os dois dá A=4.

Passo 6

Em (d), o comprimento de uma curva polar é dado por L=∫√(r²+(dr/dθ)²)
dθ. Aqui r(θ)=2√(cos2θ), então
drdθ=-2sin2θraizcos2θ

Passo 7

Para cobrir toda C₂ precisamos os dois lóbulos. Podemos escrever por simetria:
L=2integral-pi/4^pi/4raizl(r(θ)r)^2+l(r'(θ)r)^2;dθcom r(θ)=2raizcos2θ

Resposta

(a) Região anular 1≤r≤2 no semiplano esquerdo (θ∈[π/2,3π/2]).
(b) Lemniscata de Bernoulli r²=4 cos2θ com lóbulos em θ∈[-π/4,π/4] e [3π/4,5π/4].
© Área total =4.
(d) Integral do comprimento:
L=2∫_{-π/4}^{π/4}√{r(θ)²+(r’(θ))²} dθ, com r(θ)=2√(cos2θ) e r’(θ)=-2 sin2θ/√(cos2θ).

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