Questão 3: (Valor 3,0)
(a) Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições
.
(b) Esboce a curva
© Calcule a área da região limitada por
.
(d) Determine, mas não avalie, a integral que permite se calcular o comprimento da curva
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(a) Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições
(b) Esboce a curva
© Calcule a área da região limitada por
(d) Determine, mas não avalie, a integral que permite se calcular o comprimento da curva
Passo 1
O enunciado pede: (a) esboçar a região 1≤r≤2 sujeita a cosθ≤0; (b) esboçar a curva polar r²=4
cos2θ; © calcular a área limitada por essa curva; (d) escrever a integral para o comprimento de C₂ sem avaliar. Vamos usar coordenadas polares, conhecer os intervalos de θ onde aparecem as condições e aplicar as fórmulas de área e comprimento em polares.
cos2θ; © calcular a área limitada por essa curva; (d) escrever a integral para o comprimento de C₂ sem avaliar. Vamos usar coordenadas polares, conhecer os intervalos de θ onde aparecem as condições e aplicar as fórmulas de área e comprimento em polares.
Passo 2
Para (a), a condição cosθ≤0 implica θ∈[π/2,3π/2], ou seja o semiplano esquerdo. Juntando 1≤r≤2 obtemos uma coroa circular (ou anel) entre os círculos de raio 1 e 2, mas apenas no lado esquerdo do eixo y. O esboço é uma faixa anular carregada à esquerda.
Passo 3
Em (b), temos r²=4
cos2θ. Como r²≥0, exigimos cos2θ≥0, isto é 2θ∈[-π/2,π/2]+kπ ⇒ θ∈[-π/4,π/4]∪[3π/4,5π/4]. Essa equação descreve uma lemniscata de Bernoulli com dois lóbulos simétricos em torno da origem. No esboço, cada lóbulo ocupa um desses intervalos de θ.
cos2θ. Como r²≥0, exigimos cos2θ≥0, isto é 2θ∈[-π/2,π/2]+kπ ⇒ θ∈[-π/4,π/4]∪[3π/4,5π/4]. Essa equação descreve uma lemniscata de Bernoulli com dois lóbulos simétricos em torno da origem. No esboço, cada lóbulo ocupa um desses intervalos de θ.
Passo 4
Para ©, usamos a fórmula de área em coordenadas polares: A=½∫r²
dθ. Como r²=4
cos2θ, dividimos em dois lóbulos:
dθ. Como r²=4
cos2θ, dividimos em dois lóbulos:
Passo 5
Calculando uma das integrais:
Então cada lóbulo tem área ½·4=2, e somando os dois dá A=4.
Passo 6
Em (d), o comprimento de uma curva polar é dado por L=∫√(r²+(dr/dθ)²)
dθ. Aqui r(θ)=2√(cos2θ), então
dθ. Aqui r(θ)=2√(cos2θ), então
Passo 7
Para cobrir toda C₂ precisamos os dois lóbulos. Podemos escrever por simetria:
Resposta
(a) Região anular 1≤r≤2 no semiplano esquerdo (θ∈[π/2,3π/2]).
(b) Lemniscata de Bernoulli r²=4 cos2θ com lóbulos em θ∈[-π/4,π/4] e [3π/4,5π/4].
© Área total =4.
(d) Integral do comprimento:
L=2∫_{-π/4}^{π/4}√{r(θ)²+(r’(θ))²} dθ, com r(θ)=2√(cos2θ) e r’(θ)=-2 sin2θ/√(cos2θ).
(b) Lemniscata de Bernoulli r²=4 cos2θ com lóbulos em θ∈[-π/4,π/4] e [3π/4,5π/4].
© Área total =4.
(d) Integral do comprimento:
L=2∫_{-π/4}^{π/4}√{r(θ)²+(r’(θ))²} dθ, com r(θ)=2√(cos2θ) e r’(θ)=-2 sin2θ/√(cos2θ).