Considere a função
dada por
. É incorreto afirmar que:
a)
é uma função ímpar.
b)
é contínua em
.
c)
para todo
.
d)
sempre que
.
e)
tem apenas uma solução real.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função f: ℝ→ℝ definida por f(x)=3x|x|. A questão pede para identificar qual das afirmações (a) a (e) está incorreta. Vamos analisar ímparidade, continuidade, sinal, monotonicidade e a equação f(x)=3.
Passo 2
Para ver se f é ímpar, calculamos f(−x): f(−x)=3(−x)|−x|=3(−x)|x|=−3x|x|=−f(x). Como f(−x)=−f(x) para todo x, f é ímpar. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Para verificar continuidade, notamos que x↦x e x↦|x| são contínuas em ℝ e produto de funções contínuas é contínuo. Então f(x)=3·(x)·|x| é contínua em ℝ. Logo, (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando o sinal, se x≥0 então f(x)=3x²≥0; mas se x<0 então f(x)=3x·(−x)=−3x²<0. Logo não vale f(x)≥0 para todo x. Portanto a afirmação © é falsa.
Passo 5
Para checar monotonicidade, derivamos f: para x>0, f(x)=3x²⇒f′(x)=6x>0; para x<0, f(x)=−3x²⇒f′(x)=−6x>0. Assim f′(x)>0 em ℝ∖{0} e f sobe também passando por 0. Logo f é estritamente crescente e (d) é verdadeira.
Passo 6
Resolvendo f(x)=3: se x≥0 então 3x²=3⇒x²=1⇒x=±1, mas x deve ser ≥0, então só x=1; se x<0 não há solução porque −3x²<0. Logo existe apenas uma solução real, e (e) é verdadeira.
Resposta
c) f(x)\geq 0 para todo x \in ℝ.