QUESTÃO 3 (valor:
) Duas pessoas estão jogando uma partida de baralho. O baralho utilizado é completo, com 52 cartas, sendo 13 de cada naipe, ao ser embaralhado foram distribuidas 6 cartas para o jogador " A " e 6 cartas para o jogador " B ". Sabendo que o jogador " A " recebeu o três de ouros, o cinco de espadas, o sete de copas, o ás de paus, a dama de ouros e o rei de paus, calcule a probabilidade do jogador “B” ter em mãos:
(a) Uma figura de naipe preto
(a) Uma figura de naipe preto
Passo 1
O enunciado dá que o baralho é completo com 52 cartas; foram distribuídas 6 cartas para o jogador
e 6 para o jogador
. O jogador
recebeu as cartas:
três de ouros
,
cinco de espadas
,
sete de copas
,
ás de paus
,
dama de ouros
e
rei de paus
. A pergunta (a) é: qual a probabilidade do jogador
ter em mãos uma figura de naipe preto?\n\nInformações relevantes listadas:
- Baralho: 52 cartas no total.
- Cartas já conhecidas nas mãos de
: 6 cartas (listadas acima). - Carta que nos interessa (tipo “figura de naipe preto”): figuras são valete, dama e rei; naipes pretos são paus e espadas. Em todo o baralho há
figuras por naipe, logo naipes pretos figuras pretas no baralho inteiro. - Das
figuras pretas totais, observamos que já tem rei de paus (uma figura preta). Logo restam figuras pretas entre as cartas desconhecidas. - Após conhecer as 6 cartas de
, restam cartas possíveis das quais recebeu 6 aleatórias (sem reposição).\n\nO objetivo: calcular a probabilidade de que, nas 6 cartas de , haja pelo menos uma figura de naipe preto.
Passo 2
Explicação didática do modelo probabilístico que vamos usar (sem pular etapas).
Quando tiramos cartas de um conjunto de
sem reposição e todas as escolhas são igualmente prováveis, a contagem de casos é feita com combinações. A combinação
conta de quantas formas podemos escolher
objetos de um total de
sem considerar ordem. A fórmula é
Quando tiramos
onde
é o fatorial de
(produto de
até
).
No nosso problema, o evento “B tem pelo menos uma figura preta” é o complementar do evento “B não tem nenhuma figura preta”. É quase sempre mais fácil calcular a probabilidade do complementar e subtrair de 1. Assim:
No nosso problema, o evento “B tem pelo menos uma figura preta” é o complementar do evento “B não tem nenhuma figura preta”. É quase sempre mais fácil calcular a probabilidade do complementar e subtrair de 1. Assim:
Passo 3
Calcular
usando contagem combinatória (hipergeométrica).
- Total de cartas restantes:
46 . - Número de cartas que não são figura preta entre essas 46:
46 - 5 = 41 (pois restam 5 figuras pretas).
Para quenão tenha nenhuma figura preta, todas as 6 cartas de devem ser escolhidas entre essas cartas “não-figura-preta”. O número de formas de escolher 6 cartas sem figura preta é . O número total de formas de escolher quaisquer 6 cartas das 46 é . Portanto
E então
Passo 4
Simplificar simbolicamente a razão de combinações para uma forma que dá para calcular sem fatoriais enormes. Use a expressão de
. Assim
Cancelando o fator
no numerador e no denominador obtemos
Passo 5
Calcular numericamente a razão e subtrair de 1. Primeiro calculo dos produtos (mostro as contas para você poder reproduzir na prova):
- Numerador:
- Denominador:
Logo
Podemos simplificar essa fração. Dividindo por
obtemos
. Dividindo por
obtemos a forma reduzida
Portanto
Passo 6
Obter também a aproximação decimal (útil para intuição rápida). Calculando a divisão,
Ou seja, cerca de
(aproximadamente
). Você pode dizer na prova: a probabilidade é
, que numericamente vale aproximadamente
.