QUESTÃO 3 (valor: \mathbf{1 , 0} ) Duas pessoas estão jogando uma partida de baralho. O baralho utilizado é completo, com 52 cartas, sendo 13 de cada naipe, ao ser embaralhado foram distribuidas 6 cartas para o jogador " A " e 6 cartas para o jogador " B ". Sabendo que o jogador " A " recebeu o três de ouros, o cinco de espadas, o sete de copas, o ás de paus, a dama de ouros e o rei de paus, calcule a probabilidade do jogador “B” ter em mãos:
(a) Uma figura de naipe preto

Passo 1

O enunciado dá que o baralho é completo com 52 cartas; foram distribuídas 6 cartas para o jogador A e 6 para o jogador B. O jogador A recebeu as cartas: três de ouros , cinco de espadas , sete de copas , ás de paus , dama de ouros e rei de paus . A pergunta (a) é: qual a probabilidade do jogador B ter em mãos uma figura de naipe preto?\n\nInformações relevantes listadas:
  • Baralho: 52 cartas no total.
  • Cartas já conhecidas nas mãos de A: 6 cartas (listadas acima).
  • Carta que nos interessa (tipo “figura de naipe preto”): figuras são valete, dama e rei; naipes pretos são paus e espadas. Em todo o baralho há 3 figuras por naipe, logo 2 naipes pretos \Rightarrow 6 figuras pretas no baralho inteiro.
  • Das 6 figuras pretas totais, observamos que A já tem rei de paus (uma figura preta). Logo restam 5 figuras pretas entre as cartas desconhecidas.
  • Após conhecer as 6 cartas de A, restam 52-6=46 cartas possíveis das quais B recebeu 6 aleatórias (sem reposição).\n\nO objetivo: calcular a probabilidade de que, nas 6 cartas de B, haja pelo menos uma figura de naipe preto.

Passo 2

Explicação didática do modelo probabilístico que vamos usar (sem pular etapas).
Quando tiramos 6 cartas de um conjunto de 46 sem reposição e todas as escolhas são igualmente prováveis, a contagem de casos é feita com combinações. A combinação \binom{n}{k} conta de quantas formas podemos escolher k objetos de um total de n sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n (produto de 1 até n).
No nosso problema, o evento “B tem pelo menos uma figura preta” é o complementar do evento “B não tem nenhuma figura preta”. É quase sempre mais fácil calcular a probabilidade do complementar e subtrair de 1. Assim:
P(\text{pelo menos 1 figura preta}) = 1 - P(\text{nenhuma figura preta}).

Passo 3

Calcular P(\text{nenhuma figura preta}) usando contagem combinatória (hipergeométrica).
  • Total de cartas restantes: 46 .
  • Número de cartas que não são figura preta entre essas 46: 46 - 5 = 41 (pois restam 5 figuras pretas).
    Para que B não tenha nenhuma figura preta, todas as 6 cartas de B devem ser escolhidas entre essas 41 cartas “não-figura-preta”. O número de formas de escolher 6 cartas sem figura preta é \binom{41}{6}. O número total de formas de escolher quaisquer 6 cartas das 46 é \binom{46}{6}. Portanto
P(\text{nenhuma figura preta})=\frac{\binom{41}{6}}{\binom{46}{6}}.
E então
P(\text{pelo menos 1 figura preta})=1-\frac{\binom{41}{6}}{\binom{46}{6}}.

Passo 4

Simplificar simbolicamente a razão de combinações para uma forma que dá para calcular sem fatoriais enormes. Use a expressão de \binom{n}{6}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-5)}{6!}. Assim
\frac{\binom{41}{6}}{\binom{46}{6}}=\frac{\dfrac{41\cdot 40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}{6!}}{\dfrac{46\cdot 45\cdot 44\cdot 43\cdot 42\cdot 41}{6!}} =\frac{41\cdot 40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}{46\cdot 45\cdot 44\cdot 43\cdot 42\cdot 41}.
Cancelando o fator 41 no numerador e no denominador obtemos
\frac{\binom{41}{6}}{\binom{46}{6}}=\frac{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}{46\cdot 45\cdot 44\cdot 43\cdot 42}.

Passo 5

Calcular numericamente a razão e subtrair de 1. Primeiro calculo dos produtos (mostro as contas para você poder reproduzir na prova):
  • Numerador: 40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36 = 78\,960\,960.
  • Denominador: 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43\cdot 42 = 164\,490\,480.
Logo
\frac{\binom{41}{6}}{\binom{46}{6}}=\frac{78\,960\,960}{164\,490\,480}.
Podemos simplificar essa fração. Dividindo por 240 obtemos \dfrac{329\,004}{685\,377}. Dividindo por 9 obtemos a forma reduzida
\frac{\binom{41}{6}}{\binom{46}{6}}=\frac{36\,556}{76\,153}.
Portanto
P(\text{pelo menos 1 figura preta})=1-\frac{36\,556}{76\,153}=\frac{39\,597}{76\,153}.

Passo 6

Obter também a aproximação decimal (útil para intuição rápida). Calculando a divisão,
\frac{39\,597}{76\,153}\approx 0,5199664\ldots
Ou seja, cerca de 0{,}520 (aproximadamente 52{,}0\%). Você pode dizer na prova: a probabilidade é 1-\dfrac{\binom{41}{6}}{\binom{46}{6}}, que numericamente vale aproximadamente 0{,}52.

Resposta

\displaystyle 1-\frac{\binom{41}{6}}{\binom{46}{6}}=\frac{39\,597}{76\,153}\approx 0{,}5199664

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