QUESTÃO 3 (valor: \mathbf{1 , 0} ) Duas pessoas estão jogando uma partida de baralho. O baralho utilizado é completo, com 52 cartas, sendo 13 de cada naipe, ao ser embaralhado foram distribuidas 6 cartas para o jogador " A " e 6 cartas para o jogador " B ". Sabendo que o jogador " A " recebeu o três de ouros, o cinco de espadas, o sete de copas, o ás de paus, a dama de ouros e o rei de paus, calcule a probabilidade do jogador “B” ter em mãos:
(b) Uma figura de copas

Passo 1

O enunciado diz que temos um baralho completo de 52 cartas. Depois de embaralhar foram distribuídas 6 cartas para o jogador “A” e 6 cartas para o jogador “B”. O jogador “A” recebeu as seguintes 6 cartas: três de ouros, cinco de espadas, sete de copas, ás de paus, dama de ouros e rei de paus . A pergunta (b) pede: calcular a probabilidade do jogador “B” ter em mãos “uma figura de copas”.
Informações relevantes listadas:
  • Tamanho do baralho inicial: \,52.
  • Cartas já entregues a A: 6 cartas listadas acima (vou usar esses dados ao contar as cartas restantes).
  • Tamanho da mão de B: \,6 cartas.
  • O enunciado pede a probabilidade de B ter “uma figura de copas”. Vou entender “figura” como as cartas-valete, dama ou rei — isto é, as três figuras por naipe ( J, Q, K). Não há outra informação ambígua no enunciado, então seguirei essa interpretação.

Passo 2

Primeiro raciocínio simplificador: como já sabemos exatamente quais 6 cartas A tem, podemos olhar só para o conjunto de cartas restantes no baralho antes de distribuir a B. O número de cartas restantes é
52-6=46.
Portanto a mão de B é uma amostra de 6 cartas escolhidas uniformemente entre essas \,46 cartas restantes.

Passo 3

Vamos identificar as cartas que interessam (as “figuras de copas”). As figuras do naipe copas são: valete de copas ( J de copas), dama de copas ( Q de copas) e rei de copas ( K de copas). Ou seja, há exatamente 3 cartas alvo no baralho original. Agora chequei as cartas de A fornecidas: entre elas não há J de copas, nem Q de copas, nem K de copas — a única carta de copas de A é o sete de copas, que não é figura. Logo, todas as 3 figuras de copas permanecem entre as 46 cartas não dadas a A.

Passo 4

Estratégia de contagem: é mais simples usar o complemento. Em vez de contar diretamente a probabilidade de “pelo menos uma figura de copas” na mão de B, conto a probabilidade complementar de “nenhuma figura de copas” em B, e depois faço 1 menos isso. Se denotarmos por E o evento “B tem ao menos uma figura de copas”, então
P(E)=1-P(E^c),
onde E^c é o evento “B não tem nenhuma figura de copas”.

Passo 5

Contagem combinatória: todas as mãos possíveis de B (todas igualmente prováveis) são as escolhas de 6 cartas entre as 46 restantes, isto é \binom{46}{6} mãos possíveis. Para que B não tenha nenhuma figura de copas, todas as 6 cartas de B devem ser escolhidas exclusivamente entre as cartas que não são as 3 figuras de copas. Como existem 46 cartas no total restantes e 3 delas são as figuras de copas, o número de cartas “não-figura-de-copas” restantes é
46-3=43.
Assim o número de mãos sem nenhuma figura de copas é \binom{43}{6}. Portanto
P(E^c)=\frac{\binom{43}{6}}{\binom{46}{6}}.

Passo 6

Vamos simplificar essa razão de combinações. Escrevendo as combinações em produto, temos
\frac{\binom{43}{6}}{\binom{46}{6}} =\frac{\dfrac{43\cdot42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38}{6!}}{\dfrac{46\cdot45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41}{6!}} =\frac{43\cdot42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38}{46\cdot45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41}.
Agora cancelam-se os fatores comuns 43, 42 e 41 no numerador e denominador, ficando
P(E^c)=\frac{40\cdot39\cdot38}{46\cdot45\cdot44}.

Passo 7

Calculemos o valor numérico fracionário e a forma reduzida dessa expressão. Primeiro o produto:
40\cdot39\cdot38 = 59280,
46\cdot45\cdot44 = 91080.
Logo
P(E^c)=\frac{59280}{91080}.
Simplificando dividindo por 60 (por exemplo) e depois por 2, obtemos
P(E^c)=\frac{494}{759}\approx 0{,}650865.

Passo 8

Finalmente a probabilidade desejada (pelo menos uma figura de copas na mão de B) é
P(E)=1-P(E^c)=1-\frac{494}{759}=\frac{265}{759}\approx 0{,}349135.

Resposta

\displaystyle \frac{265}{759} (aprox. 0{,}3491)

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