QUESTÃO 3 (valor:
) Duas pessoas estão jogando uma partida de baralho. O baralho utilizado é completo, com 52 cartas, sendo 13 de cada naipe, ao ser embaralhado foram distribuidas 6 cartas para o jogador " A " e 6 cartas para o jogador " B ". Sabendo que o jogador " A " recebeu o três de ouros, o cinco de espadas, o sete de copas, o ás de paus, a dama de ouros e o rei de paus, calcule a probabilidade do jogador “B” ter em mãos:
(b) Uma figura de copas
(b) Uma figura de copas
Passo 1
O enunciado diz que temos um baralho completo de
cartas. Depois de embaralhar foram distribuídas
cartas para o jogador “A” e
cartas para o jogador “B”. O jogador “A” recebeu as seguintes
cartas:
três de ouros, cinco de espadas, sete de copas, ás de paus, dama de ouros e rei de paus
. A pergunta (b) pede: calcular a probabilidade do jogador “B” ter em mãos “uma figura de copas”.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Tamanho do baralho inicial:
. - Cartas já entregues a
: cartas listadas acima (vou usar esses dados ao contar as cartas restantes). - Tamanho da mão de
: cartas. - O enunciado pede a probabilidade de
ter “uma figura de copas”. Vou entender “figura” como as cartas-valete, dama ou rei — isto é, as três figuras por naipe ( , , ). Não há outra informação ambígua no enunciado, então seguirei essa interpretação.
Passo 2
Primeiro raciocínio simplificador: como já sabemos exatamente quais
cartas
tem, podemos olhar só para o conjunto de cartas restantes no baralho antes de distribuir a
. O número de cartas restantes é
Portanto a mão de
é uma amostra de
cartas escolhidas uniformemente entre essas
cartas restantes.
Passo 3
Vamos identificar as cartas que interessam (as “figuras de copas”). As figuras do naipe copas são: valete de copas (
de copas), dama de copas (
de copas) e rei de copas (
de copas). Ou seja, há exatamente
cartas alvo no baralho original. Agora chequei as cartas de
fornecidas: entre elas não há
de copas, nem
de copas, nem
de copas — a única carta de copas de
é o sete de copas, que não é figura. Logo, todas as
figuras de copas permanecem entre as
cartas não dadas a
.
Passo 4
Estratégia de contagem: é mais simples usar o complemento. Em vez de contar diretamente a probabilidade de “pelo menos uma figura de copas” na mão de
, conto a probabilidade complementar de “nenhuma figura de copas” em
, e depois faço
menos isso. Se denotarmos por
o evento “B tem ao menos uma figura de copas”, então
onde
é o evento “B não tem nenhuma figura de copas”.
Passo 5
Contagem combinatória: todas as mãos possíveis de
(todas igualmente prováveis) são as escolhas de
cartas entre as
restantes, isto é
mãos possíveis. Para que
não tenha nenhuma figura de copas, todas as
cartas de
devem ser escolhidas exclusivamente entre as cartas que não são as
figuras de copas. Como existem
cartas no total restantes e
delas são as figuras de copas, o número de cartas “não-figura-de-copas” restantes é
Assim o número de mãos sem nenhuma figura de copas é
. Portanto
Passo 6
Vamos simplificar essa razão de combinações. Escrevendo as combinações em produto, temos
Agora cancelam-se os fatores comuns
,
e
no numerador e denominador, ficando
Passo 7
Calculemos o valor numérico fracionário e a forma reduzida dessa expressão. Primeiro o produto:
Logo
Simplificando dividindo por
(por exemplo) e depois por
, obtemos
Passo 8
Finalmente a probabilidade desejada (pelo menos uma figura de copas na mão de
) é