Questão 2 Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right) é invertivel, então existe um polinômio p(x) tal que T^{-1}=p(T);

Passo 1

O enunciado afirma que, dado T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n) invertível, existe um polinômio p(x) tal que
T^{-1}=p(T).
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cayley–Hamilton e a relação entre o polinômio característico de T e a inversa de T.

Passo 2

Definimos o polinômio característico de T por
\chi_T(x)=\det(xI - T)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x + a_0.
Como T é invertível, temos \det T\neq0, logo
a_0 = \det(0\cdot I - T)=(-1)^n\det T\neq0.
Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, vale
\chi_T(T)=T^n + a_{n-1}T^{n-1} + \dots + a_1T + a_0I = 0.

Passo 3

Reescrevendo \chi_T(T)=0, isolamos o termo com a_0:
T^n + a_{n-1}T^{n-1} + \dots + a_1T = -\,a_0I.
Fatorando T à esquerda,
T\bigl(T^{n-1} + a_{n-1}T^{n-2} + \dots + a_1I\bigr) = -\,a_0I.
Multiplicando à direita por -\frac1{a_0}T^{-1}, obtemos
T^{-1} = -\frac1{a_0}\bigl(T^{n-1} + a_{n-1}T^{n-2} + \dots + a_1I\bigr).

Passo 4

Basta então definir o polinômio
p(x) = -\frac1{a_0}\bigl(x^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1\bigr),
pois isso garante exatamente
T^{-1} = p(T).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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