Questão 2 Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se
é invertivel, então existe um polinômio
tal que
;
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, dado
invertível, existe um polinômio
tal que
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cayley–Hamilton e a relação entre o polinômio característico de
e a inversa de
.
Passo 2
Definimos o polinômio característico de
por
Como
é invertível, temos
, logo
Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, vale
Passo 3
Reescrevendo
, isolamos o termo com
:
Fatorando
à esquerda,
Multiplicando à direita por
, obtemos
Passo 4
Basta então definir o polinômio
pois isso garante exatamente
Resposta
A afirmação é verdadeira.