1^ a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Um objeto move-se ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento s=t^3+3 t^2+2 t-1, com t >= 0. Ache os valores de t de forma que a medida da aceleração instantânea seja igual a 0 . Além disso, indique quando o objeto muda de direção.
Solução: Temos que a(t)=v^prime(t) e que v(t)=s^prime(t). Assim, como
v(t)=(s(t))^prime Rightarrow v(t)=(t^3+3 t^2+2 t-1)^prime=3 t^2+6 t+2
Consequentemente,
a(t)=(v(t))^prime Rightarrow v(t)=(3 t^2+6 t+2)^prime=6 t+6
que é maior do que zero para todo t >= 0. Portanto, não existe ponto onde a aceleração vale zero para essa equação.

Passo 1

O enunciado dá a posição do objeto como
s(t)=t^3+3t^2+2t-1,
para t>=0. Queremos achar (i) os instantes em que a aceleração instantânea vale zero e (ii) os instantes em que o objeto muda de direção. Aqui usaremos derivação para obter velocidade e aceleração e depois resolver igualdades e analisar sinais.

Passo 2

A velocidade é a derivada de s(t). Logo,
v(t)=s'(t)=l(t^3+3t^2+2t-1r)'=3t^2+6t+2

Passo 3

A aceleração é a derivada de v(t). Assim,
a(t)=v'(t)=l(3t^2+6t+2r)'=6t+6

Passo 4

Para achar onde a aceleração é zero, resolvemos
6t+6=0Longrightarrow t=-1
Como o domínio é t>=0, não há valor de t no domínio que zere a(t). Portanto, não existe instante com aceleração nula.

Passo 5

Para ver mudança de direção, buscamos onde v(t)=0:
3t^2+6t+2=0
tem raízes
t=-6pmraiz36-246=-1pmraiz33,
que são aproximadamente -1,577 e -0,423, ambos fora de [0,infty). Além disso, v(0)=2>0 e o coeficiente de t^2 em v(t) é positivo, logo v(t)>0 para todo t>=0. Assim, o objeto nunca inverte seu sentido de movimento.

Resposta

A aceleração não se anula para t>=0 e o objeto também não muda de direção nesse intervalo.

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