Resolva os problemas abaixo:
Calcule \iint\left(x^{2}+y\right) d x d y onde D é a região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(x^{2}+y)\,dx\,dy
sobre a região D limitada pelas curvas y=x^{2} e y=2x.
Conteúdo: integração dupla via Teorema de Fubini. Precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas para descrever D como
\bigl\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;g_{1}(x)\le y\le g_{2}(x)\bigr\},
montar o integral iterado e calcular, primeiro em y depois em x.

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
x^{2}=2x
x^{2}-2x=0
x(x-2)=0
Logo x=0 ou x=2. Assim D é dado por
0\le x\le 2,\quad x^{2}\le y\le 2x.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
\iint_{D}(x^{2}+y)\,dx\,dy =\int_{x=0}^{2}\Bigl(\int_{y=x^{2}}^{2x}(x^{2}+y)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{2x}(x^{2}+y)\,dy =\Bigl[x^{2}y+\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x}.
Em y=2x
x^{2}(2x)+\frac{(2x)^{2}}{2} =2x^{3}+\frac{4x^{2}}{2} =2x^{3}+2x^{2},
e em y=x^{2}
x^{2}(x^{2})+\frac{(x^{2})^{2}}{2} =x^{4}+\frac{x^{4}}{2} =\tfrac{3}{2}x^{4}.
Subtraindo,
\int_{y=x^{2}}^{2x}(x^{2}+y)\,dy =2x^{3}+2x^{2}-\tfrac{3}{2}x^{4}.

Passo 5

Agora a integral em x:
\int_{0}^{2}\bigl(2x^{3}+2x^{2}-\tfrac{3}{2}x^{4}\bigr)\,dx.
As primitivas são
\int 2x^{3}\,dx=x^{4}/2, \quad \int 2x^{2}\,dx=\tfrac{2}{3}x^{3}, \quad \int -\tfrac{3}{2}x^{4}\,dx=-\tfrac{3}{10}x^{5}.
Logo
F(x)=\frac{x^{4}}{2}+\frac{2}{3}x^{3}-\frac{3}{10}x^{5},
e avaliamos de 0 a 2.

Passo 6

Em x=2:
F(2) =\frac{2^{4}}{2}+\frac{2}{3}\,2^{3}-\frac{3}{10}\,2^{5} =8+\frac{16}{3}-\frac{96}{10} =8+\frac{16}{3}-\frac{48}{5}.
Colocando em denominador 15:
8=\frac{120}{15},\quad \frac{16}{3}=\frac{80}{15},\quad \frac{48}{5}=\frac{144}{15},
então
F(2)=\frac{120+80-144}{15}=\frac{56}{15}.
Em x=0, F(0)=0. Portanto a integral vale \tfrac{56}{15}.

Resposta

\frac{56}{15}.

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