Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos):
Calcule, se existir, o valor do limite
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Calcule, se existir, o valor do limite
Passo 1
Beleza, vamos ver esse problema juntos! A gente precisa calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 da função:
Primeiro, vamos entender que tipo de limite estamos lidando aqui. Substituindo $ x = 1 $ diretamente:
- No numerador: $ 1^{3} - 3 \times 1^{2} + 6 \times 1 - 4 = 1 - 3 + 6 - 4 = 0 $
- No denominador: $ 3 \times 1^{3} - 1^{2} - 9 \times 1 + 7 = 3 - 1 - 9 + 7 = 0 $
Então, temos uma forma indeterminada do tipo $ \frac{0}{0} $. Quando isso acontece, a gente pode usar a Regra de L’Hospital, que nos ajuda a calcular o limite derivando o numerador e o denominador.
Passo 2
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador $ N(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6x - 4 $:
Derivada do denominador $ D(x) = 3x^{3} - x^{2} - 9x + 7 $:
Passo 3
Agora, vamos recalcular o limite usando as derivadas:
Substituindo $ x = 1 $:
Numerador: $ 3 \times 1^{2} - 6 \times 1 + 6 = 3 - 6 + 6 = 3 $
Denominador: $ 9 \times 1^{2} - 2 \times 1 - 9 = 9 - 2 - 9 = -2 $
Resposta
Portanto, o valor do limite é: