6^a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos):
Encontre uma equação da reta tangente e da reta normal à curva y=raizcos (x)+sen(x), no ponto x=pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva $ y = \sqrt{\cos(x) + \sin(x)} $ no ponto onde $ x = \frac{\pi}{4} $. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função para achar a inclinação das retas e, depois, usar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor de $ y $ quando $ x = \frac{\pi}{4} $. Substituímos na função:
y
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
x = pi4

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função $ y = \sqrt{\cos(x) + \sin(x)} $ para encontrar a inclinação da reta tangente. Usamos a regra da cadeia:
y = raizcos(x) + sin(x)
Simplificando:
dydx = 12raizcos(x) + sin(x) cdot (-sin(x) + cos(x))

Passo 4

Substituímos $ x = \frac{\pi}{4} $ na derivada para achar a inclinação da reta tangente:
x = pi4
Como $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $, o numerador fica zero:
dydxg|x=pi4 = cos(pi4) - sin(pi4)2raizcos(pi4) + sin(pi4)
Então, a inclinação da reta tangente é 0.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente $ m_t = 0 $ e o ponto $ \left(\frac{\pi}{4}, 2^{1/4}\right) $, podemos usar a equação da reta:
mt = 0
Substituindo:
(pi4, 2^1/4)
Então, a reta tangente é uma linha horizontal passando por $ y = 2^{1/4} $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação $ m_n $ é o negativo do inverso de $ m_t $. Já que $ m_t = 0 $, a reta normal será uma vertical, cuja equação é:
mn

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto $ x = \frac{\pi}{4} $ é $ y = 2^{1/4} $ e a equação da reta normal é $ x = \frac{\pi}{4} $.

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