Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos):
Encontre uma equação da reta tangente e da reta normal à curva
, no ponto
.
Encontre uma equação da reta tangente e da reta normal à curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva $ y = \sqrt{\cos(x) + \sin(x)} $ no ponto onde $ x = \frac{\pi}{4} $. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função para achar a inclinação das retas e, depois, usar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor de $ y $ quando $ x = \frac{\pi}{4} $. Substituímos na função:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função $ y = \sqrt{\cos(x) + \sin(x)} $ para encontrar a inclinação da reta tangente. Usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Substituímos $ x = \frac{\pi}{4} $ na derivada para achar a inclinação da reta tangente:
Como $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $, o numerador fica zero:
Então, a inclinação da reta tangente é 0.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente $ m_t = 0 $ e o ponto $ \left(\frac{\pi}{4}, 2^{1/4}\right) $, podemos usar a equação da reta:
Substituindo:
Então, a reta tangente é uma linha horizontal passando por $ y = 2^{1/4} $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação $ m_n $ é o negativo do inverso de $ m_t $. Já que $ m_t = 0 $, a reta normal será uma vertical, cuja equação é:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto $ x = \frac{\pi}{4} $ é $ y = 2^{1/4} $ e a equação da reta normal é $ x = \frac{\pi}{4} $.