6^a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos):
Calcule f^prime(x), sendo f(x)=raiz2 x^3-4 x+5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de $ f(x) = \sqrt{2x^{3} - 4x + 5} $. Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do poder. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência fracionária:
f(x) = (2x^3 - 4x + 5)^12
Isso torna mais fácil aplicar a regra do poder na derivação.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de $ (g(x))^{n} $ é $ n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g’(x) $. No nosso caso, $ g(x) = 2x^{3} - 4x + 5 $ e $ n = \frac{1}{2} $.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 12 cdot (2x^3 - 4x + 5)^-12 cdot ddx(2x^3 - 4x + 5)
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ g(x) = 2x^{3} - 4x + 5 $.

Passo 5

Derivando $ g(x) $:
g(x)

Passo 6

Substituindo $ g’(x) $ de volta na expressão para $ f’(x) $:
g'(x)

Passo 7

Vamos simplificar um pouco a expressão. Podemos reescrever $ (2x^{3} - 4x + 5)^{-\frac{1}{2}} $ como $ \frac{1}{\sqrt{2x^{3} - 4x + 5}} $:
(2x^3 - 4x + 5)^-12

Resposta

A derivada de $ f(x) = \sqrt{2x^{3} - 4x + 5} $ é:
f(x) = raiz2x^3 - 4x + 5

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