Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos):
Calcule
, sendo
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada de $ f(x) = \sqrt{2x^{3} - 4x + 5} $. Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do poder. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência fracionária:
Isso torna mais fácil aplicar a regra do poder na derivação.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de $ (g(x))^{n} $ é $ n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g’(x) $. No nosso caso, $ g(x) = 2x^{3} - 4x + 5 $ e $ n = \frac{1}{2} $.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ g(x) = 2x^{3} - 4x + 5 $.
Passo 5
Derivando $ g(x) $:
Passo 6
Substituindo $ g’(x) $ de volta na expressão para $ f’(x) $:
Passo 7
Vamos simplificar um pouco a expressão. Podemos reescrever $ (2x^{3} - 4x + 5)^{-\frac{1}{2}} $ como $ \frac{1}{\sqrt{2x^{3} - 4x + 5}} $:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \sqrt{2x^{3} - 4x + 5} $ é: