Usando a Transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-t}, \operatorname{com} y(0)=-1, \quad y^{\prime}(0)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução usando a Transformada de Laplace. Vou listar exatamente o que temos e o que é pedido.
Equação diferencial: y''+2y'+y=e^{-t}.
Condições iniciais: y(0)=-1,\qquad y'(0)=1.
Pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo forçante é e^{-t}.
As condições iniciais são valores de y e y' em t=0.
A equação homogênea associada tem operador característico (D+1)^2, mas a resolução será feita pelo método da Laplace.
Passo 2
Breve aula sobre a Transformada de Laplace e regras que vou usar (sem pular etapas).
Definição: para uma função f(t) (assumidamente adequada), a Transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a} (válido para \operatorname{Re}s>-a).
Formula para potências de t: \mathcal{L}\{t^n e^{-at}\}=\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} para n inteiro não-negativo.
Regras para derivadas (essenciais para lidar com y' e y''):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).
Explicação rápida do porquê das fórmulas das derivadas: são obtidas por integração por partes da integral \int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt e usando e^{-st}y(t)\big|_0^\infty=0-y(0) sob hipóteses de decaimento.
Passo 3
Aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, aplico as regras de derivada e transformo o lado direito.
Transformando cada termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{2y'\}=2\big(sY(s)-y(0)\big),
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}.
Agora escrevo a equação transformada juntando tudo:
Somando as duas inversas, obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t)=-e^{-t}+\frac{t^2 e^{-t}}{2}.
Fatorando e^{-t} para ficar mais compacto e amigável para a prova:
y(t)=e^{-t}\left(\frac{t^{2}}{2}-1\right).
Passo 8
Verificação rápida das condições iniciais (para dar segurança na resposta; isto é útil na prova para checar erros aritméticos).
Em t=0:
y(0)=e^{0}\left(\frac{0^2}{2}-1\right)=-1,
confere com y(0)=-1.
Derivando para verificar y'(0): a verificação completa pode ser feita, mas já é compatível com os cálculos por transformada; testando rapidamente obtém-se y'(0)=1, portanto as condições iniciais batem.