Usando a Transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-t}, \operatorname{com} y(0)=-1, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução usando a Transformada de Laplace. Vou listar exatamente o que temos e o que é pedido.
  • Equação diferencial: y''+2y'+y=e^{-t}.
  • Condições iniciais: y(0)=-1,\qquad y'(0)=1.
  • Pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo forçante é e^{-t}.
  • As condições iniciais são valores de y e y' em t=0.
  • A equação homogênea associada tem operador característico (D+1)^2, mas a resolução será feita pelo método da Laplace.

Passo 2

Breve aula sobre a Transformada de Laplace e regras que vou usar (sem pular etapas).
  • Definição: para uma função f(t) (assumidamente adequada), a Transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformadas importantes que usarei:
    • \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a} (válido para \operatorname{Re}s>-a).
    • Formula para potências de t: \mathcal{L}\{t^n e^{-at}\}=\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} para n inteiro não-negativo.
  • Regras para derivadas (essenciais para lidar com y' e y''):
    • \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
    • \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).
Explicação rápida do porquê das fórmulas das derivadas: são obtidas por integração por partes da integral \int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt e usando e^{-st}y(t)\big|_0^\infty=0-y(0) sob hipóteses de decaimento.

Passo 3

Aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, aplico as regras de derivada e transformo o lado direito.
Transformando cada termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{2y'\}=2\big(sY(s)-y(0)\big),
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}.
Agora escrevo a equação transformada juntando tudo:
\big(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)\big)+2\big(sY(s)-y(0)\big)+Y(s)=\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Substituir as condições iniciais \,y(0)=-1 e \,y'(0)=1 na equação transformada e simplificar passo a passo.
Substituindo:
s^2Y(s)-s(-1)-1+2\big(sY(s)-(-1)\big)+Y(s)=\frac{1}{s+1}.
Calculo os termos constantes separadamente:
  • -s(-1)=+s.
  • -1 permanece.
  • 2(-(-1))=2\cdot1=2.
Somando as constantes: -1+2=+1. Então a expressão fica
s^2Y(s)+s-1 +2sY(s)+2 +Y(s)=\frac{1}{s+1}.
Agrupando os termos em Y(s) e os termos independentes:
Y(s)\big(s^2+2s+1\big)+(s+1)=\frac{1}{s+1}.
Observação: s^2+2s+1=(s+1)^2. Portanto:
Y(s)(s+1)^2+(s+1)=\frac{1}{s+1}.

Passo 5

Isolar Y(s) e simplificar. Faço as operações algébricas com cuidado.
Subtrai-se (s+1) do lado direito:
Y(s)(s+1)^2=\frac{1}{s+1}-(s+1).
Coloco o lado direito sobre denominador comum (s+1):
\frac{1-(s+1)^2}{s+1}.
Dividindo por (s+1)^2 para isolar Y(s):
Y(s)=\frac{1-(s+1)^2}{(s+1)^3}.
Faço a expansão no numerador para simplificar:
1-(s+1)^2=1-(s^2+2s+1)=-s^2-2s.
Logo
Y(s)=\frac{-s^2-2s}{(s+1)^3}=-\frac{s(s+2)}{(s+1)^3}.

Passo 6

Facilitar a inversão aplicando a substituição u=s+1 — é um truque comum para termos centrados em s+1.
Com u=s+1 temos s=u-1. O numerador se transforma:
-s(s+2)=-(u-1)(u+1)=-(u^2-1)=-u^2+1.
Portanto
Y(s)=\frac{-u^2+1}{u^3}=-\frac{u^2}{u^3}+\frac{1}{u^3}=-\frac{1}{u}+\frac{1}{u^3}.
Voltando para s (isto é, u=s+1):
Y(s)=-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^3}.
Esta forma é ótima porque cada termo é uma transformada direta conhecida cuja inversa é simples.

Passo 7

Aplicar a Transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas conhecidas.
  • Para -\dfrac{1}{s+1}: como \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{1}{s+1}, então
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{s+1}\right\}=-e^{-t}.
  • Para \dfrac{1}{(s+1)^3}: usar a fórmula \mathcal{L}\{t^n e^{-at}\}=\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}.
    Aqui n=2 e a=1, então
\mathcal{L}\{t^2 e^{-t}\}=\frac{2!}{(s+1)^3}=\frac{2}{(s+1)^3}.
Assim
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^3}\right\}=\frac{t^2 e^{-t}}{2}.
Somando as duas inversas, obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t)=-e^{-t}+\frac{t^2 e^{-t}}{2}.
Fatorando e^{-t} para ficar mais compacto e amigável para a prova:
y(t)=e^{-t}\left(\frac{t^{2}}{2}-1\right).

Passo 8

Verificação rápida das condições iniciais (para dar segurança na resposta; isto é útil na prova para checar erros aritméticos).
  • Em t=0:
y(0)=e^{0}\left(\frac{0^2}{2}-1\right)=-1,
confere com y(0)=-1.
  • Derivando para verificar y'(0): a verificação completa pode ser feita, mas já é compatível com os cálculos por transformada; testando rapidamente obtém-se y'(0)=1, portanto as condições iniciais batem.

Resposta

y(t)=e^{-t}\left(\frac{t^{2}}{2}-1\right)

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