QUESTÃO 4 - valor: 2,0 pontos

Considere uma esfera carregada uniformemente. Em coordenadas esféricas, o campo eletrostático pode ser escrito como:
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=E_{r}(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_{r}+E_{\theta}(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_{\theta}+E_{\varphi}(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_{\varphi}
Adote o sistema de coordenadas de maneira adequada e mostre que, pela simetria do problema, o campo \mathbf{E} não varia na direção de \mathbf{e}_{\theta} e nem na direção de \mathbf{e}_{\boldsymbol{\varphi}}, sobrando apenas a componente radial \mathrm{E}_{\mathrm{r}}. Mostre, também pela simetria do problema, que essa componente radial independe de \theta e de \varphi, dependendo apenas do módulo do vetor r.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera carregada uniformemente e apresenta o campo elétrico em coordenadas esféricas na forma
\mathbf{E}(\mathbf{r})=E_{r}(r,\theta,\varphi)\,\mathbf{e}_{r}+E_{\theta}(r,\theta,\varphi)\,\mathbf{e}_{\theta}+E_{\varphi}(r,\theta,\varphi)\,\mathbf{e}_{\varphi}.
O que se pede:
  • Mostrar, usando simetria do problema, que as componentes tangenciais E_{\theta} e E_{\varphi} são nulas (ou seja, o campo não varia nas direções \mathbf{e}_{\theta} e \mathbf{e}_{\varphi}), restando apenas a componente radial.
  • Mostrar, também por simetria, que a componente radial independe dos ângulos \theta e \varphi, dependendo somente do raio r=\lVert\mathbf{r}\rVert.
Informações relevantes (dados do enunciado):
  • A distribuição de carga é uniforme (esfericamente simétrica) e o centro da esfera está na origem.
  • Coordenadas e vetores unitários: \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi são os versores esféricos no ponto \mathbf{r}.

Passo 2

Ideia de simetria que vamos usar (explicada devagar): a distribuição de carga é invariante por rotações em torno da origem. Em linguagem simples, se rodar todo o espaço em torno da origem por qualquer rotação R, a distribuição de cargas fica exatamente igual. Em notação:
\rho(R\mathbf{r})=\rho(\mathbf{r})\quad\text{para toda rotação }R.çã
Consequência física intuitiva: se a fonte (a carga) não muda ao rotacionar, o campo elétrico resultante também só pode mudar da mesma forma que a rotação muda o sistema. Formalmente, pela unicidade da solução de Maxwell (ou simplesmente pelo argumento físico de que rotacionar todo o sistema rota o campo da mesma maneira), vale
\mathbf{E}(R\mathbf{r})=R\,\mathbf{E}(\mathbf{r})\quad\text{para toda rotação }R.çã
Vou usar essa relação várias vezes — ela é o motor do argumento de simetria.

Passo 3

Mostrar que as componentes tangenciais devem ser nulas. Considere um ponto fixo \mathbf{r} (com r>0). Há rotações que deixam o vetor posição \mathbf{r} inalterado (ou seja, R\mathbf{r}=\mathbf{r}) mas que giram o plano ortogonal a \mathbf{r}. Essas rotações são as rotações em torno do eixo definido por \mathbf{r} (ângulo qualquer \alpha). O que elas fazem nos versores é:
R\mathbf{e}_r=\mathbf{e}_r,\qquad R\mathbf{e}_\theta,\;R\mathbf{e}_\varphi\\ \text{são combinações lineares de }\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi.ãçõ
Decompomos o campo em uma parte paralela a \mathbf{e}_r e uma parte perpendicular:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=E_{\parallel}\,\mathbf{e}_r+\mathbf{E}_{\perp},\quad\text{onde }E_{\parallel}=E_r\text{ e }\mathbf{E}_{\perp}=E_{\theta}\mathbf{e}_\theta+E_{\varphi}\mathbf{e}_\varphi.
Aplicando a invariância de rotações que deixam \mathbf{r} fixo, obtemos
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}(R\mathbf{r})=R\mathbf{E}(\mathbf{r})=E_{\parallel}\,\mathbf{e}_r+R\mathbf{E}_{\perp}.
Subtraindo E_{\parallel}\mathbf{e}_r dos dois lados:
\mathbf{E}_{\perp}=R\mathbf{E}_{\perp}.
Isto deve valer para toda rotação R em torno de \mathbf{r}. Mas a única forma de um vetor no plano perpendicular a \mathbf{r} ser invariável por todas as rotações nesse plano é ser o vetor nulo. Logo
\mathbf{E}_{\perp}=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad E_{\theta}=0,\quad E_{\varphi}=0.
Interpretação simples: se existisse uma componente tangencial, ao girar em torno de \mathbf{r} essa componente mudaria de direção, o que criaria uma diferença física em pontos que deveriam ser equivalentes pela simetria — isso não é permitido pela simetria esférica.

Passo 4

Conclusão parcial: o campo no ponto \mathbf{r} é estritamente radial. Podemos então escrever, reduzido:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=E_{r}(r,\theta,\varphi)\,\mathbf{e}_r.
Até aqui provamos que as componentes E_{\theta} e E_{\varphi} são nulas em todo ponto.

Passo 5

Mostrar que E_{r} independe de \theta e \varphi (depende apenas de r). Voltemos à propriedade geral de invariância por rotações:
\mathbf{E}(Q\mathbf{r})=Q\,\mathbf{E}(\mathbf{r})\quad\text{para toda rotação }Q.çã
Como a forma do campo é radial, aplicando essa relação obtemos, no ponto Q\mathbf{r},
\mathbf{E}(Q\mathbf{r})=E_{r}(Q\mathbf{r})\,\mathbf{e}_r(Q\mathbf{r}),
enquanto o lado direito é
Q\,\mathbf{E}(\mathbf{r})=Q\bigl(E_{r}(\mathbf{r})\,\mathbf{e}_r(\mathbf{r})\bigr)=E_{r}(\mathbf{r})\,\mathbf{e}_r(Q\mathbf{r}).
Comparando as duas expressões (mesmo versor radial \mathbf{e}_r(Q\mathbf{r})), resulta
E_{r}(Q\mathbf{r})=E_{r}(\mathbf{r})\quad\text{para toda rotação }Q.çã
Isto significa que o valor da função E_{r} no ponto \mathbf{r} é igual ao valor em qualquer ponto obtido por rotacionar \mathbf{r}. Em particular, qualquer ponto com o mesmo módulo r=\lVert\mathbf{r}\rVert pode ser obtido por uma rotação de \mathbf{r}. Portanto E_{r} é constante sobre a esfera de raio r, isto é, depende apenas de r:
E_{r}(r,\theta,\varphi)=E_{r}(r).
Em palavras: não existe preferência angular porque a distribuição é totalmente rotacionalmente simétrica; assim a componente radial só pode variar com a distância ao centro.

Passo 6

Resumo final do resultado obtido e interpretação prática: pelo argumento de simetria chegamos a que o campo elétrico gerado por uma esfera carregada uniformemente tem somente componente radial e essa componente é função apenas do raio. Escrevendo de forma compacta:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=E_{r}(r)\,\mathbf{e}_r.
Isso é exatamente a forma que permite, por exemplo, aplicar a lei de Gauss de maneira simples para encontrar E_{r}(r) explicitamente (mas esse cálculo não era pedido aqui).

Resposta

E_{\theta}=0,\;E_{\varphi}=0
\mathbf{E}(\mathbf{r})=E_{r}(r)\,\mathbf{e}_r

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