QUESTÃO 4 - valor: 2,0 pontos
Considere uma esfera carregada uniformemente. Em coordenadas esféricas, o campo eletrostático pode ser escrito como:
Adote o sistema de coordenadas de maneira adequada e mostre que, pela simetria do problema, o campo
não varia na direção de
e nem na direção de
, sobrando apenas a componente radial
. Mostre, também pela simetria do problema, que essa componente radial independe de
e de
, dependendo apenas do módulo do vetor r.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera carregada uniformemente e apresenta o campo elétrico em coordenadas esféricas na forma
O que se pede:
- Mostrar, usando simetria do problema, que as componentes tangenciais
e são nulas (ou seja, o campo não varia nas direções e ), restando apenas a componente radial. - Mostrar, também por simetria, que a componente radial independe dos ângulos
e , dependendo somente do raio .
Informações relevantes (dados do enunciado):
- A distribuição de carga é uniforme (esfericamente simétrica) e o centro da esfera está na origem.
- Coordenadas e vetores unitários:
são os versores esféricos no ponto .
Passo 2
Ideia de simetria que vamos usar (explicada devagar): a distribuição de carga é invariante por rotações em torno da origem. Em linguagem simples, se rodar todo o espaço em torno da origem por qualquer rotação
, a distribuição de cargas fica exatamente igual. Em notação:
Consequência física intuitiva: se a fonte (a carga) não muda ao rotacionar, o campo elétrico resultante também só pode mudar da mesma forma que a rotação muda o sistema. Formalmente, pela unicidade da solução de Maxwell (ou simplesmente pelo argumento físico de que rotacionar todo o sistema rota o campo da mesma maneira), vale
Vou usar essa relação várias vezes — ela é o motor do argumento de simetria.
Passo 3
Mostrar que as componentes tangenciais devem ser nulas. Considere um ponto fixo
(com
). Há rotações que deixam o vetor posição
inalterado (ou seja,
) mas que giram o plano ortogonal a
. Essas rotações são as rotações em torno do eixo definido por
(ângulo qualquer
). O que elas fazem nos versores é:
Decompomos o campo em uma parte paralela a
e uma parte perpendicular:
Aplicando a invariância de rotações que deixam
fixo, obtemos
Subtraindo
dos dois lados:
Isto deve valer para toda rotação
em torno de
. Mas a única forma de um vetor no plano perpendicular a
ser invariável por todas as rotações nesse plano é ser o vetor nulo. Logo
Interpretação simples: se existisse uma componente tangencial, ao girar em torno de
essa componente mudaria de direção, o que criaria uma diferença física em pontos que deveriam ser equivalentes pela simetria — isso não é permitido pela simetria esférica.
Passo 4
Conclusão parcial: o campo no ponto
é estritamente radial. Podemos então escrever, reduzido:
Até aqui provamos que as componentes
e
são nulas em todo ponto.
Passo 5
Mostrar que
independe de
e
(depende apenas de
). Voltemos à propriedade geral de invariância por rotações:
Como a forma do campo é radial, aplicando essa relação obtemos, no ponto
,
enquanto o lado direito é
Comparando as duas expressões (mesmo versor radial
), resulta
Isto significa que o valor da função
no ponto
é igual ao valor em qualquer ponto obtido por rotacionar
. Em particular, qualquer ponto com o mesmo módulo
pode ser obtido por uma rotação de
. Portanto
é constante sobre a esfera de raio
, isto é, depende apenas de
:
Em palavras: não existe preferência angular porque a distribuição é totalmente rotacionalmente simétrica; assim a componente radial só pode variar com a distância ao centro.
Passo 6
Resumo final do resultado obtido e interpretação prática: pelo argumento de simetria chegamos a que o campo elétrico gerado por uma esfera carregada uniformemente tem somente componente radial e essa componente é função apenas do raio. Escrevendo de forma compacta:
Isso é exatamente a forma que permite, por exemplo, aplicar a lei de Gauss de maneira simples para encontrar
explicitamente (mas esse cálculo não era pedido aqui).