QUESTÃO 2 - valor: 2,0 pontos

Considere um fio infinito carregado uniformemente. Em coordenadas cilíndricas, o campo eletrostático pode ser escrito como:
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=E_{\rho}(\rho, \theta, z) \boldsymbol{e}_{\rho}+E_{\theta}(\rho, \theta, z) \boldsymbol{e}_{\theta}+E_{z}(\rho, \theta, z) \boldsymbol{e}_{z}
Adote o sistema de coordenadas de maneira adequada e mostre que, pela simetria do problema, o campo \mathbf{E} não varia na direção de \mathbf{e}_{\theta} e nem na direção de \mathbf{e}_{\mathbf{z}}, sobrando apenas a componente radial \mathrm{E}_{\rho}. Mostre, também pela simetria do problema, que essa componente radial independe de \theta e de z, dependendo apenas de \rho.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um fio infinito, carregado uniformemente (densidade linear de carga qualquer, constante ao longo do fio).
  • O campo elétrico está escrito em coordenadas cilíndricas como
\mathbf{E}(\mathbf{r})=E_{\rho}(\rho,\theta,z)\,\mathbf{e}_{\rho}+E_{\theta}(\rho,\theta,z)\,\mathbf{e}_{\theta}+E_{z}(\rho,\theta,z)\,\mathbf{e}_{z}.
O que é pedido:
  • Mostrar, por argumento de simetria, que o campo não varia na direção de \mathbf{e}_{\theta} nem na direção de \mathbf{e}_{z} (ou seja, independe de \theta e de z).
  • Mostrar que só sobra a componente radial E_{\rho} e que ela depende apenas de \rho (ou seja, E_{\theta}=0, E_{z}=0 e E_{\rho}=E_{\rho}(\rho)).

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e definições — preparar o palco.
  • Coloque o eixo z coincidindo com o fio (o fio é o eixo \rho=0). Assim usamos coordenadas cilíndricas (\rho,\theta,z).
  • Lembrar os vetores unitários locais: \mathbf{e}_{\rho},\qquad \mathbf{e}_{\theta},\qquad \mathbf{e}_{z},onde \mathbf{e}_{\rho} aponta radialmente para fora do eixo, \mathbf{e}_{\theta} é tangencial (sentido azimutal) e \mathbf{e}_{z} é paralelo ao fio.
  • Intuição física: o fio é infinito e homogêneo ao longo de z e não tem nenhum marcador angular; por isso o problema tem simetrias de translação ao longo de z e de rotação em torno do eixo z. Vamos transformar essas intuições em argumentos formais.

Passo 3

Independência em z (simetria por translação ao longo do fio).
  • O fio é infinito e uniformemente carregado, logo a configuração física é invariante por qualquer translação ao longo do eixo z.
  • Isso significa: se deslocarmos um ponto qualquer para cima ou para baixo (mudamos z para z+z_0), a situação física é a mesma, portanto o campo no ponto deslocado deve ser o mesmo que o campo no ponto original (medido no sistema físico equivalente).
  • Em fórmulas: para todo z_0, \mathbf{E}(\rho,\theta,z+z_0)=\mathbf{E}(\rho,\theta,z).
  • Logo todas as componentes são independentes de z: E_{\rho}=E_{\rho}(\rho,\theta),\qquad E_{\theta}=E_{\theta}(\rho,\theta),\qquad E_{z}=E_{z}(\rho,\theta).
  • Comentário didático: esse é o argumento padrão de translação — sem variação ao longo do fio porque não há nenhum ponto especial no eixo z.

Passo 4

Independência em \theta (simetria por rotação em torno do fio).
  • O fio é circularmente simétrico: rodar o sistema em torno do eixo z por um ângulo \alpha não muda a configuração física.
  • Isso implica que para todo \alpha, \mathbf{E}(\rho,\theta+\alpha)=\mathbf{E}(\rho,\theta).
  • Portanto as componentes não dependem de \theta: E_{\rho}=E_{\rho}(\rho),\qquad E_{\theta}=E_{\theta}(\rho),\qquad E_{z}=E_{z}(\rho).
  • Explicação extra simples: não existe “direção privilegiada” no plano perpendicular ao fio; qualquer ângulo é equivalente, então a função não pode variar com \theta.

Passo 5

Mostrando que E_{\theta}=0 usando simetria por reflexão.
  • Considere a reflexão em um plano que contém o eixo z; essa reflexão corresponde a trocar \theta por -\theta (por exemplo, refletir no plano \theta=0).
  • O sistema físico (fio infinito) é invariante sob essa reflexão, portanto \mathbf{E}(\rho,-\theta)=\mathbf{E}(\rho,\theta).
  • Como já mostramos independência de \theta, basta olhar o efeito da reflexão nos vetores unitários: sob \theta\mapsto -\theta, \mathbf{e}_{\rho}\mapsto \mathbf{e}_{\rho},\qquad \mathbf{e}_{\theta}\mapsto -\mathbf{e}_{\theta},\qquad \mathbf{e}_{z}\mapsto \mathbf{e}_{z}.
  • Escrevendo o campo antes e depois da reflexão: \mathbf{E}(\rho,\theta)=E_{\rho}(\rho)\mathbf{e}_{\rho}+E_{\theta}(\rho)\mathbf{e}_{\theta}+E_{z}(\rho)\mathbf{e}_{z},
\mathbf{E}(\rho,-\theta)=E_{\rho}(\rho)\mathbf{e}_{\rho}-E_{\theta}(\rho)\mathbf{e}_{\theta}+E_{z}(\rho)\mathbf{e}_{z}.
  • Igualando \mathbf{E}(\rho,-\theta)=\mathbf{E}(\rho,\theta) obtemos E_{\rho}(\rho)=E_{\rho}(\rho),\qquad -E_{\theta}(\rho)=E_{\theta}(\rho),\qquad E_{z}(\rho)=E_{z}(\rho).
  • Da segunda igualdade vem E_{\theta}(\rho)=-E_{\theta}(\rho), logo E_{\theta}(\rho)=0.
  • Interpretação simples: a componente tangencial mudaria de sinal sob reflexão, mas o campo físico não pode mudar — só solução é essa componente ser zero.

Passo 6

Mostrando que E_{z}=0 usando simetria por inversão em z (reflexão em plano perpendicular ao fio).
  • Considere a reflexão em um plano perpendicular ao eixo z que troca z por -z. O fio infinito é invariante por essa reflexão.
  • Pelo Passo 3 já sabemos que as componentes não dependem de z, mas precisamos mostrar E_{z} se anula. Sob z\mapsto -z os vetores unitários transformam como \mathbf{e}_{\rho}\mapsto \mathbf{e}_{\rho},\qquad \mathbf{e}_{\theta}\mapsto \mathbf{e}_{\theta},\qquad \mathbf{e}_{z}\mapsto -\mathbf{e}_{z}.
  • Se o campo não muda (simetria) então, escrevendo antes e depois: \mathbf{E}(\rho,z)=E_{\rho}(\rho)\mathbf{e}_{\rho}+0\cdot\mathbf{e}_{\theta}+E_{z}(\rho)\mathbf{e}_{z},
\mathbf{E}(\rho,-z)=E_{\rho}(\rho)\mathbf{e}_{\rho}+0\cdot\mathbf{e}_{\theta}-E_{z}(\rho)\mathbf{e}_{z}.
  • Igualando \mathbf{E}(\rho,-z)=\mathbf{E}(\rho,z) -E_{z}(\rho)=E_{z}(\rho), portanto E_{z}(\rho)=0.
  • Intuição: não há razão física para um componente do campo apontar preferencialmente para cima ou para baixo ao longo do fio; se tivesse, a reflexão inverte esse sentido criando contradição.

Passo 7

Conclusão sobre a forma do campo e dependência apenas em \rho.
  • Reunindo resultados:
    • E_{\theta}=0 pelo Passo 5.
    • E_{z}=0 pelo Passo 6.
    • E_{\rho} não depende de \theta nem de z (Passos 3 e 4), portanto E_{\rho}=E_{\rho}(\rho).
  • Assim o campo tem apenas componente radial e depende somente da distância radial \rho: \mathbf{E}(\rho,\theta,z)=E_{\rho}(\rho)\,\mathbf{e}_{\rho}.

Passo 8

Observação física final e sinal de E_{\rho}.
  • Se a densidade linear de carga do fio for positiva, então E_{\rho}(\rho) é positivo (aponta para fora do fio). Se a densidade for negativa, aponta para dentro (sinal negativo).
  • O valor explícito de E_{\rho}(\rho) pode ser obtido por Lei de Gauss, mas a questão pedia apenas a forma imposta pelas simetrias, não o módulo numérico.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(\rho,\theta,z)=E_{\rho}(\rho)\,\mathbf{e}_{\rho},\qquad E_{\theta}=0,\quad E_{z}=0,\quad E_{\rho}=E_{\rho}(\rho)

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