QUESTÃO 2 - valor: 2,0 pontos
Considere um fio infinito carregado uniformemente. Em coordenadas cilíndricas, o campo eletrostático pode ser escrito como:
Adote o sistema de coordenadas de maneira adequada e mostre que, pela simetria do problema, o campo
não varia na direção de
e nem na direção de
, sobrando apenas a componente radial
. Mostre, também pela simetria do problema, que essa componente radial independe de
e de
, dependendo apenas de
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um fio infinito, carregado uniformemente (densidade linear de carga qualquer, constante ao longo do fio).
- O campo elétrico está escrito em coordenadas cilíndricas como
O que é pedido:
- Mostrar, por argumento de simetria, que o campo não varia na direção de
nem na direção de (ou seja, independe de e de ). - Mostrar que só sobra a componente radial
e que ela depende apenas de (ou seja, , e ).
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e definições — preparar o palco.
- Coloque o eixo
coincidindo com o fio (o fio é o eixo ). Assim usamos coordenadas cilíndricas . - Lembrar os vetores unitários locais:
onde aponta radialmente para fora do eixo, é tangencial (sentido azimutal) e é paralelo ao fio. - Intuição física: o fio é infinito e homogêneo ao longo de
e não tem nenhum marcador angular; por isso o problema tem simetrias de translação ao longo de e de rotação em torno do eixo . Vamos transformar essas intuições em argumentos formais.
Passo 3
Independência em
(simetria por translação ao longo do fio).
- O fio é infinito e uniformemente carregado, logo a configuração física é invariante por qualquer translação ao longo do eixo
. - Isso significa: se deslocarmos um ponto qualquer para cima ou para baixo (mudamos
para ), a situação física é a mesma, portanto o campo no ponto deslocado deve ser o mesmo que o campo no ponto original (medido no sistema físico equivalente). - Em fórmulas: para todo
, - Logo todas as componentes são independentes de
: - Comentário didático: esse é o argumento padrão de translação — sem variação ao longo do fio porque não há nenhum ponto especial no eixo
.
Passo 4
Independência em
(simetria por rotação em torno do fio).
- O fio é circularmente simétrico: rodar o sistema em torno do eixo
por um ângulo não muda a configuração física. - Isso implica que para todo
, - Portanto as componentes não dependem de
: - Explicação extra simples: não existe “direção privilegiada” no plano perpendicular ao fio; qualquer ângulo é equivalente, então a função não pode variar com
.
Passo 5
Mostrando que
usando simetria por reflexão.
- Considere a reflexão em um plano que contém o eixo
; essa reflexão corresponde a trocar por (por exemplo, refletir no plano ). - O sistema físico (fio infinito) é invariante sob essa reflexão, portanto
- Como já mostramos independência de
, basta olhar o efeito da reflexão nos vetores unitários: sob , - Escrevendo o campo antes e depois da reflexão:
- Igualando
obtemos - Da segunda igualdade vem
, logo - Interpretação simples: a componente tangencial mudaria de sinal sob reflexão, mas o campo físico não pode mudar — só solução é essa componente ser zero.
Passo 6
Mostrando que
usando simetria por inversão em
(reflexão em plano perpendicular ao fio).
- Considere a reflexão em um plano perpendicular ao eixo
que troca por . O fio infinito é invariante por essa reflexão. - Pelo Passo 3 já sabemos que as componentes não dependem de
, mas precisamos mostrar se anula. Sob os vetores unitários transformam como - Se o campo não muda (simetria) então, escrevendo antes e depois:
- Igualando
dá , portanto - Intuição: não há razão física para um componente do campo apontar preferencialmente para cima ou para baixo ao longo do fio; se tivesse, a reflexão inverte esse sentido criando contradição.
Passo 7
Conclusão sobre a forma do campo e dependência apenas em
.
- Reunindo resultados:
-
pelo Passo 5. -
pelo Passo 6. -
não depende de nem de (Passos 3 e 4), portanto .
-
- Assim o campo tem apenas componente radial e depende somente da distância radial
:
Passo 8
Observação física final e sinal de
.
- Se a densidade linear de carga do fio for positiva, então
é positivo (aponta para fora do fio). Se a densidade for negativa, aponta para dentro (sinal negativo). - O valor explícito de
pode ser obtido por Lei de Gauss, mas a questão pedia apenas a forma imposta pelas simetrias, não o módulo numérico.