2^{a} Questão. (Valor: 4,0 pontos)
Um calorímetro consistindo de um copo metálico de massa m_{c a}=(50,00 \pm 0,01) g. isolado termicamente do ambiente, é utilizado para determinar o calor específico de um bloco metálico de massa m_{m}=(62,52 \pm 0,01) \mathrm{g}. (O calor específico da água é c_{A}=/ \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C} ).
(a) Determine, primeiro, a capacidade térmica E do calorimetro, e sua incerteza \Delta E, através do seguinte experimento: Inicialmente (120,43 \pm 0,01) g de água, m. foi colocada em equilibrio térmico com o calorimetro a uma temperatura de T_{1}=(12,4 \pm 0,1)^{\circ} \mathrm{C}. A mesma quantidade de água, m_{2}=(120,43 \pm 0,01) g a uma temperatura T_{2}=(55,0 \pm 0,1)^{\circ} \mathrm{C} foi adicionada à água inicial e a temperatura de equilibrio final medida para o conjunto foi de T_{f}=(32,8 \pm 0, I)^{\circ} C. Expresse seu resultado final na forma E \pm \Lambda E. ( 2,0 pontos).
(b) Determine, dentro da incerteza cabível, a substância que constitui o copo do calorímetro consultando a Tabela abaixo: ( 0,5 pontos)
Substância Calor específico ( \mathbf{c a l} / \mathbf{g}{ }^{\circ} \mathbf{C} )
Ouro 0.032
Prata 0.056
Cobre 0.092
Aço inox 0.120
Aluminio 0.218
(c) Determine, finalmente. o calor especifico do bloco de metal de massa m_{2}=62,52 \mathrm{~g} quando este é colocado a uma temperatura de T_{2}=97,9{ }^{\circ} \mathrm{C} dentro do calorímetro em equilibrio térmico T_{l}=22,6^{\circ} \mathrm{C} com massa m l^{=} 190,00 \mathrm{~g} de água. Após atingir o novo estado de equilibrio. a temperatura final do sistema é de T_{f}=27,2{ }^{\circ} \mathrm{C}. Com as informações da tabela acima. determine qual é a substancia do bloco de metal utilizado. (Desconsidere, neste item, a propagação de erro). (1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo bem organizadinho para não nos perdermos):
  • massa do copo do calorímetro: m_{ca}=(50,00\pm0,01)\\ \mathrm{g}.
  • experimento para achar a capacidade térmica E do calorímetro: duas porções de água iguais
    • m_{1}= (120,43\pm0,01)\\ \mathrm{g} a T_{1}=(12,4\pm0,1)^\circ\mathrm{C} (esta água está em equilíbrio com o calorímetro inicialmente);
    • m_{2}= (120,43\pm0,01)\\ \mathrm{g} a T_{2}=(55,0\pm0,1)^\circ\mathrm{C};
    • temperatura de equilíbrio final após mistura: T_{f}=(32,8\pm0,1)^\circ\mathrm{C}.
  • calor específico da água (vou usar o valor padrão): c_{A}=1,00\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
  • Para (b) temos a tabela de calores específicos (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}):
    • Ouro: 0,032
    • Prata: 0,056
    • Cobre: 0,092
    • Aço inox: 0,120
    • Alumínio: 0,218
  • Para (c): bloco metálico de massa m_{m}= (62,52\pm0,01)\\ \mathrm{g} inicialmente a T_{2}=97,9^\circ\mathrm{C} é colocado no calorímetro que estava em equilíbrio a T_{1}=22,6^\circ\mathrm{C} com m_{l}=190,00\\ \mathrm{g} de água; temperatura final do sistema: T_{f}=27,2^\circ\mathrm{C}. (No item (c) foi pedido desprezar propagação de erro.)
O que o problema pede:
  • (a) Determinar a capacidade térmica E do calorímetro e sua incerteza \Delta E, expressando o resultado como E\pm\Delta E.
  • (b) Com base em E e na massa do copo, determinar qual substância constitui o copo, consultando a tabela.
  • (c) Calcular o calor específico do bloco metálico (desprezando propagação de erro) e identificar a substância do bloco usando a tabela.

Passo 2

Princípio físico e equação geral que vamos usar (explicando cada termo):
Quando misturamos fluidos (e um calorímetro) isolados termicamente, a energia trocada por aquecimento/resfriamento se conserva: o calor perdido pelo corpo quente é igual ao calor ganho pelos corpos frios. Aqui:
  • o corpo quente na (a) é a água a T_{2} (massa m_{2});
  • os corpos frios são a água a T_{1} (massa m_{1}) e o próprio calorímetro (capacidade térmica E, unidades \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}).
Energia (calor) trocada por uma massa m com calor específico c ao variar a temperatura de T_{i} para T_{f} é
Q = m\,c\,(T_{f}-T_{i}).
Aqui a água quente perde calor, então seu Q será negativo se usarmos T_f-T_i; é mais claro escrever equilíbrio em módulos:
Calor perdido pela água quente = calor ganho pela água fria + calor ganho pelo calorímetro:
m_{2} c_{A} (T_{2}-T_{f}) = m_{1} c_{A} (T_{f}-T_{1}) + E\,(T_{f}-T_{1}).
Queremos isolar E. Rearranjando:
E = \frac{m_{2} c_{A} (T_{2}-T_{f})}{(T_{f}-T_{1})} - m_{1} c_{A}.
Nesta fórmula:
  • m_{1},m_{2} são massas das águas (em g),
  • T_{1},T_{2},T_{f} são temperaturas (em °C),
  • c_{A} é o calor específico da água (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}),
  • E tem unidades \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Cálculo numérico de E (substituindo os valores):
Primeiro calculemos as diferenças de temperatura (tudo em °C):
T_{2}-T_{f}=55{,}0-32{,}8=22{,}2,
T_{f}-T_{1}=32{,}8-12{,}4=20{,}4.
Agora a fórmula (com c_{A}=1{,}00\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}):
E = \frac{m_{2}\,(T_{2}-T_{f})}{(T_{f}-T_{1})} - m_{1}.
Como m_{1}=m_{2}=120{,}43\\ \mathrm{g}, temos
\frac{m_{2}\,(T_{2}-T_{f})}{(T_{f}-T_{1})}=\frac{120{,}43\cdot 22{,}2}{20{,}4}=131{,}057\\ \text{(aprox.)}.
Então
E = 131{,}057 - 120{,}43 = 10{,}627\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com mais dígitos intermediários para manter precisão até a propagação do erro,
E \approx 10{,}63\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}\quad\text{(valor central)}.

Passo 4

Como estimar a incerteza \Delta E (propagação de erros explicada passo a passo):
Temos E como função das variáveis medidas m_{1},m_{2},T_{1},T_{2},T_{f}:
E = c_{A}\left(\frac{m_{2}(T_{2}-T_{f})}{T_{f}-T_{1}} - m_{1}\right).
Assumimos medidas independentes; a incerteza quadrática combinada é
(\Delta E)^{2}=\sum_{x}\left(\frac{\partial E}{\partial x}\Delta x\right)^{2},
onde a soma é sobre x\in\{m_{1},m_{2},T_{1},T_{2},T_{f}\}.
Calculamos as derivadas parciais (usando c_{A}=1{,}00 e notação A=T_{2}-T_{f}, B=T_{f}-T_{1}):
\frac{\partial E}{\partial m_{1}} = -c_{A} = -1,
\frac{\partial E}{\partial m_{2}} = c_{A}\frac{A}{B}=\frac{T_{2}-T_{f}}{T_{f}-T_{1}},
\frac{\partial E}{\partial T_{2}} = c_{A}\frac{m_{2}}{B}=\frac{m_{2}}{T_{f}-T_{1}},
\frac{\partial E}{\partial T_{f}} = -c_{A}\,m_{2}\frac{T_{2}-T_{1}}{B^{2}} = -m_{2}\frac{T_{2}-T_{1}}{(T_{f}-T_{1})^{2}},
\frac{\partial E}{\partial T_{1}} = c_{A}\,m_{2}\frac{T_{2}-T_{f}}{B^{2}} = m_{2}\frac{T_{2}-T_{f}}{(T_{f}-T_{1})^{2}}.
Agora substituímos os valores numéricos para as derivadas:
  • A=22{,}2,\\ B=20{,}4,\\ T_{2}-T_{1}=42{,}6,\\ m_{2}=120{,}43.
  • Assim \frac{\partial E}{\partial m_{1}}=-1, \quad \frac{\partial E}{\partial m_{2}}\approx 1{,}0882,
\frac{\partial E}{\partial T_{2}}\approx \frac{120{,}43}{20{,}4}\approx 5{,}905, \quad \frac{\partial E}{\partial T_{f}}\approx -12{,}325, \quad \frac{\partial E}{\partial T_{1}}\approx 6{,}422.
Incertezas das medidas (dadas):
  • \Delta m_{1}=\Delta m_{2}=0{,}01\\ \mathrm{g},
  • \Delta T_{1}=\Delta T_{2}=\Delta T_{f}=0{,}1^\circ\mathrm{C}.
Agora os termos quadráticos:
(\partial E/\partial m_{1}\cdot\Delta m_{1})^{2}=(1\cdot0{,}01)^{2}=1{,}0\times10^{-4},
(\partial E/\partial m_{2}\cdot\Delta m_{2})^{2}\approx(1{,}0882\cdot0{,}01)^{2}\approx1{,}18\times10^{-4},
(\partial E/\partial T_{1}\cdot\Delta T_{1})^{2}\approx(6{,}422\cdot0{,}1)^{2}\approx0{,}4124,
(\partial E/\partial T_{2}\cdot\Delta T_{2})^{2}\approx(5{,}905\cdot0{,}1)^{2}\approx0{,}3487,
(\partial E/\partial T_{f}\cdot\Delta T_{f})^{2}\approx(12{,}325\cdot0{,}1)^{2}\approx1{,}5190.
Somando:
(\Delta E)^{2}\approx 0{,}0001+0{,}000118+0{,}4124+0{,}3487+1{,}5190 \approx 2{,}2803.
Portanto
\Delta E \approx \sqrt{2{,}2803}\approx 1{,}51\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
(Comentário didático curto: as maiores contribuições vieram das incertezas nas temperaturas, especialmente T_{f}, por isso é importante medir T_{f} com cuidado em experimentos de mistura de calor.)

Passo 5

Resultado final do item (a) (valor central e incerteza), com arredondamento razoável na incerteza:
E = (10{,}63 \pm 1{,}51)\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Item (b): determinar a substância do copo a partir de E e m_{ca}.
O calor específico do material do copo c_{ca} satisfaz
E = m_{ca}\,c_{ca}\quad\Rightarrow\quad c_{ca}=\frac{E}{m_{ca}}.
Usando E=10{,}627\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C} (valor central mais preciso) e m_{ca}=50{,}00\\ \mathrm{g}:
c_{ca}=\frac{10{,}627}{50{,}00}=0{,}2125\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}\\ (\text{valor central}).
Incerteza em c_{ca} (propagando \Delta E e \Delta m_{ca}):
\Delta c_{ca}=c_{ca}\sqrt{\left(\frac{\Delta E}{E}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta m_{ca}}{m_{ca}}\right)^{2}} \approx 0{,}2125\sqrt{\left(\frac{1{,}51}{10{,}63}\right)^{2}+\left(\frac{0{,}01}{50{,}00}\right)^{2}}
\Delta c_{ca}\approx 0{,}2125\cdot 0{,}1420 \approx 0{,}0302.
Assim
c_{ca}=(0{,}213\pm0{,}030)\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
Comparando com a tabela: o valor tabelado do Alumínio é 0{,}218\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}, que está dentro da faixa 0{,}213\pm0{,}030 (ou seja, compatível dentro da incerteza). Os outros valores da tabela (aço inox 0{,}120, cobre 0{,}092, prata 0{,}056, ouro 0{,}032) estão fora da faixa.
Portanto, dentro da incerteza cabível, o copo do calorímetro é de Alumínio.

Passo 7

Item (c): calor específico do bloco metálico.
Equação de balanço de energia para o bloco (agora o bloco é o corpo quente, a água do calorímetro e o calorímetro ganham calor):
m_{m}\,c_{m}\,(T_{2}-T_{f}) = m_{l}\,c_{A}\,(T_{f}-T_{1}) + E\,(T_{f}-T_{1}),
onde:
  • m_{m}=62{,}52\\ \mathrm{g} (massa do bloco),
  • T_{2}=97{,}9^\circ\mathrm{C} (temperatura inicial do bloco),
  • T_{1}=22{,}6^\circ\mathrm{C} (temperatura inicial do calorímetro e da água),
  • m_{l}=190{,}00\\ \mathrm{g} (massa da água no calorímetro),
  • T_{f}=27{,}2^\circ\mathrm{C} (temperatura final),
  • E é a capacidade térmica do calorímetro (usamos o valor central obtido em (a)).
Isolando c_{m}:
c_{m}=\frac{m_{l}\,c_{A}\,(T_{f}-T_{1}) + E\,(T_{f}-T_{1})}{m_{m}\,(T_{2}-T_{f})}.
Calculemos as diferenças de temperatura:
T_{f}-T_{1}=27{,}2-22{,}6=4{,}6^\circ\mathrm{C},
T_{2}-T_{f}=97{,}9-27{,}2=70{,}7^\circ\mathrm{C}.
Numerador:
m_{l}c_{A}(T_{f}-T_{1})=190{,}00\cdot1{,}00\cdot4{,}6=874{,}0\\ \mathrm{cal},
E(T_{f}-T_{1})=10{,}627\cdot4{,}6\approx48{,}886\\ \mathrm{cal}.
Soma do numerador \approx 874{,}0+48{,}886=922{,}886\\ \mathrm{cal}.
Denominador:
m_{m}(T_{2}-T_{f})=62{,}52\cdot70{,}7\approx4420{,}164.
Logo
c_{m}\approx\frac{922{,}886}{4420{,}164}\approx0{,}2088\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente:
c_{m}\approx0{,}209\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
Comparando com a tabela: o valor mais próximo é o do Alumínio 0{,}218\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}. Assim, desprezando propagação de erro (conforme pedido), o bloco metálico também é consistente com Alumínio.

Resposta

(a) E=(10{,}63\pm1{,}51)\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
(b) c_{ca}=(0{,}213\pm0{,}030)\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}; substância: Alumínio.
(c) c_{m}\approx0{,}209\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}; substância: Alumínio.

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