3^{\text {a }} Questão [ 2,5 \mathrm{pt} ] Uma onda eletromagnética proveniente de um laser se propaga no vácuo ao longo da direção positiva do eixo \hat{z}. Suponha que o feixe de luz possua uma frequência de 6 \times 10^{13} \mathrm{~Hz}, que a amplitude elétrica seja de 12,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C} e que o campo elétrico da onda que representa a luz laser aponte na direção \hat{x}.
(a) [0,5 pto ] Qual é o valor do comprimento de onda do laser?
(b) [1,0 pto] Qual é o valor da amplitude magnética?
(c) [1,0 pto] Escreva a expressão que descreve o campo magnético da onda.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética monocromática que se propaga no vácuo na direção positiva do eixo \hat{z}. Dados fornecidos:
\text{frequência } f = 6\times10^{13}\\ \text{Hz},ê
\text{amplitude elétrica } E_0 = 12,0\\ \text{N/C},é
\text{o campo elétrico aponta na direção } \hat{x}.éçã
Perguntas:
(a) Qual é o comprimento de onda \lambda do laser?
(b) Qual é a amplitude magnética B_0?
(c) Escreva a expressão que descreve o campo magnético \mathbf{B}(z,t).

Passo 2

Fórmula básica para ondas eletromagnéticas no vácuo: a velocidade de propagação é a velocidade da luz c e vale
c = 3,00\times10^{8}\\ \text{m/s}.
A relação entre frequência f, comprimento de onda \lambda e velocidade c é
\lambda = \frac{c}{f}.
Substituindo os valores:
\lambda = \frac{3,00\times10^{8}}{6\times10^{13}}.
Calcule passo a passo: divida 3,00 por 6 obtendo 0,50; ajustando as potências de 10 temos 0,50\times10^{-5}=5,00\times10^{-6}. Portanto
\lambda = 5,00\times10^{-6}\\ \text{m} = 5,00\\ \mu\text{m}.
Explicação didática rápida: a fórmula \lambda = c/f vem da definição de frequência (número de oscilações por segundo) e do fato de que cada oscilação “cobre” um comprimento \lambda na velocidade c.

Passo 3

Relação entre amplitudes dos campos elétrico e magnético para uma onda plana no vácuo: os módulos satisfazem
E_0 = c\,B_0.
Isto é porque as equações de Maxwell para ondas planas no vácuo implicam que o campo elétrico e o magnético têm amplitudes relacionadas pela velocidade da luz. Rearranjando:
B_0 = \frac{E_0}{c}.
Substituindo numericamente:
B_0 = \frac{12,0}{3,00\times10^{8}}.
Faço a conta: 12,0/3,00 = 4,00 e com a potência de 10 fica 4,00\times10^{-8}. Assim
B_0 = 4,00\times10^{-8}\\ \text{T}.
Comentário amigo: é sempre bom checar unidades mentalmente — 1\\ \text{N/C}=1\\ \text{V/m} e a razão E_0/c tem unidade de tesla, como esperado.

Passo 4

Para escrever a forma explícita da onda precisamos das quantidades de fase: número de onda k e frequência angular \omega. Elas são dadas por
k = \frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega = 2\pi f.
Usando \lambda = 5,00\times10^{-6}\\ \text{m} e f = 6\times10^{13}\\ \text{Hz}:
k = \frac{2\pi}{5,00\times10^{-6}} = 1,2566\times10^{6}\\ \text{m}^{-1},
\omega = 2\pi(6\times10^{13}) = 3,7699\times10^{14}\\ \text{rad/s}.
Explicação do significado: k diz quantos radianos de fase há por metro; \omega diz quantos radianos de fase há por segundo.

Passo 5

Direção do campo magnético \mathbf{B}. Para uma onda eletromagnética plana a direção de propagação é dada pelo produto vetorial \mathbf{S}\propto\mathbf{E}\times\mathbf{B} (vetor de Poynting). Aqui a propagação é \hat{z} e o campo elétrico é \hat{x}. Precisamos escolher \hat{u} tal que
\hat{x}\times\hat{u} = \hat{z}.
Conhecendo as regras do produto vetorial, \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}. Logo o campo magnético aponta na direção \hat{y} (mesma fase que \mathbf{E} para uma onda progressiva simples). Isto garante \mathbf{E}\times\mathbf{B} apontando para +\hat{z}.

Passo 6

Forma padrão de uma onda eletromagnética plana (onda viajando para +\hat{z}) com o campo elétrico na direção \hat{x} é
\mathbf{E}(z,t)=E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x}.
Para o campo magnético, análogo, com mesma fase e direção \hat{y}:
\mathbf{B}(z,t)=B_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}.
Substituindo os valores numéricos que calculamos:
B_0 = 4,00\times10^{-8}\\ \text{T},\quad k = 1,2566\times10^{6}\\ \text{m}^{-1},\quad \omega = 3,7699\times10^{14}\\ \text{rad/s}.
Portanto a expressão final do campo magnético é
\mathbf{B}(z,t)=\left(4,00\times10^{-8}\right)\cos\!\bigl(1,2566\times10^{6}\,z-3,7699\times10^{14}\,t\bigr)\,\hat{y}\\ \text{(SI)}.
Dica de prova: usar \cos(kz-\omega t) é padrão; se preferir \sin basta trocar fase, mas aqui não há necessidade.

Passo 7

Checagem rápida: verifique se E_0 = cB_0:
cB_0 = 3,00\times10^{8}\times4,00\times10^{-8}=12,0,
corresponde a E_0. Tudo consistente — você já arrebentou na verificação final! Força que tá indo bem.

Resposta

(a) \lambda = 5,00\times10^{-6}\\ \text{m} = 5,00\\ \mu\text{m}.
(b) B_0 = 4,00\times10^{-8}\\ \text{T}.
(c) \displaystyle \mathbf{B}(z,t)=\left(4,00\times10^{-8}\right)\cos\!\bigl(1,2566\times10^{6}\,z-3,7699\times10^{14}\,t\bigr)\,\hat{y}.

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