Utilize o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
y^prime prime-9 y=18 cos (pi x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 9y = 18cos(pi x)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 9y = 0
A equação característica é
r^2 - 9 = 0Longrightarrow r = pm 3
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^-3x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 18cos(pi x), propomos uma solução particular da forma
yp(x) = Acos(pi x) + Bsin(pi x),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp'(x) = -Apisin(pi x) + Bpicos(pi x),
yp''(x) = -Api^2cos(pi x) - Bpi^2sin(pi x)
Substituindo em y'' - 9y obtemos
yp'' - 9yp = l(-Api^2cos(pi x)-Bpi^2sin(pi x)r) -9l(Acos(pi x)+Bsin(pi x)r)
= -( pi^2 + 9)l(Acos(pi x)+Bsin(pi x)r)

Passo 5

Comparando com 18cos(pi x) temos o sistema
-(pi^2+9)A = 18, -(pi^2+9)B = 0
Daí
A = -18pi^2+9, B = 0
Então
yp(x) = -18pi^2+9cos(pi x)

Passo 6

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^3x + C2 e^-3x -18pi^2+9cos(pi x)

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-3x - 18pi^2+9cos(pi x)

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