Questão 3: (Valor: 3 pontos) Considere os vetores \vec{u}=2 \vec{i}+\vec{j}-2 \vec{k} e \vec{v}=3 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}. Determine:
(b) O valor da expressão (3 \vec{u}-2 \vec{v}) \cdot(\vec{u}+\vec{v}).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k} e \vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}
e pede para calcular a expressão
(3\vec{u}-2\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}).
Aqui vamos usar operações de combinação linear de vetores e o produto escalar, que satisfaz a bilinearidade e a comutatividade.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor 3\vec{u}-2\vec{v}.
Temos
3\vec{u}=3\,(2,1,-2)=(6,3,-6), \qquad 2\vec{v}=2\,(3,2,1)=(6,4,2).
Então
3\vec{u}-2\vec{v}=(6,3,-6)-(6,4,2)=(0,-1,-8).

Passo 3

Agora calculamos o vetor \vec{u}+\vec{v}:
\vec{u}+\vec{v}=(2,1,-2)+(3,2,1)=(5,3,-1).

Passo 4

Finalmente, fazemos o produto escalar
(3\vec{u}-2\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =(0,-1,-8)\cdot(5,3,-1) =0\cdot 5 + (-1)\cdot 3 + (-8)\cdot(-1) =-3 + 8 =5.

Resposta

O valor de (3\vec{u}-2\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) é 5.

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