- 9 Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas a uma distância, entre os centros, de
, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de
. Quando são ligadas por um fio condutor, de diâmetro desprezível, as esferas passam a se repelir com uma força de
. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas e (b) a carga positiva inicial da outra esfera.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Duas esferas condutoras iguais, fixas, com distância entre centros
. - Força eletrostática inicial (atração):
. - As esferas são ligadas por um fio; depois elas se repelem com força
. - A carga total inicial é positiva (ou seja, a esfera com carga positiva tem módulo maior do que a negativa).
O enunciado pede:
(a) determinar a carga negativa inicial de uma das esferas (valor e sinal);
(b) determinar a carga positiva inicial da outra esfera (valor e sinal).
(a) determinar a carga negativa inicial de uma das esferas (valor e sinal);
(b) determinar a carga positiva inicial da outra esfera (valor e sinal).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Lei de Coulomb: a força eletrostática entre duas cargas puntiformes
e separadas por distância é
onde
é a constante eletrostática (
). Aqui
é o módulo da força; o sinal (atração ou repulsão) depende dos sinais das cargas.
- Ao conectar duas esferas condutoras idênticas por um fio condutor, as cargas se redistribuem até que as duas esferas fiquem com o mesmo potencial. Para esferas idênticas isso significa que as cargas finais são iguais entre si. Portanto a carga final em cada esfera é a média aritmética da carga total inicial:
- Conservação de carga: a soma das cargas antes e depois da ligação é a mesma.
Passo 3
Definindo variáveis e escrevendo as equações iniciais.
Seja o módulo da carga negativa inicial (positivo por definição de módulo) e
a carga positiva inicial (módulo positivo). Então as cargas iniciais são:
Seja
Pelo enunciado a carga total inicial é positiva, logo
.
A força inicial (atração) tem módulo
Após ligá-las, a carga total é
e cada esfera fica com
Como
, as duas ficam com carga positiva e se repelem; o módulo da força após ligação é
Passo 4
Eliminar constantes comuns e obter equação entre
e
.
Dividindo por
cancelamos
:
Dividindo
Substituindo os valores numéricos:
Portanto
Passo 5
Resolver a relação algébrica para a razão entre
e
.
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o quadrado:
Rearranjando:
Dividindo por
e definindo
, obtemos uma equação quadrática em
:
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara): o discriminante é
,
. Assim
As duas soluções são
e
. Como
(porque
), escolhemos
Passo 6
Determinar os valores numéricos usando
.
Da expressão de :
Da expressão de
Como
, tem-se
. Então
Escolhendo
(valor usual), e com
e
, calculamos:
Logo
E como
,
Passo 7
Verificação rápida (sanity check) para confirmar consistência:
- Após ligação, carga total
. Cada esfera fica com . - Força após ligação prevista:
coincidindo com o valor dado. Tudo confere.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)