• 9 Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas a uma distância, entre os centros, de 50,0 \mathrm{~cm}, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108 \mathrm{~N}. Quando são ligadas por um fio condutor, de diâmetro desprezível, as esferas passam a se repelir com uma força de 0,0360 \mathrm{~N}. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas e (b) a carga positiva inicial da outra esfera.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Duas esferas condutoras iguais, fixas, com distância entre centros r=50{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Força eletrostática inicial (atração): F_1 = 0{,}108\\ \mathrm{N}.
  • As esferas são ligadas por um fio; depois elas se repelem com força F_2 = 0{,}0360\\ \mathrm{N}.
  • A carga total inicial é positiva (ou seja, a esfera com carga positiva tem módulo maior do que a negativa).
O enunciado pede:
(a) determinar a carga negativa inicial de uma das esferas (valor e sinal);
(b) determinar a carga positiva inicial da outra esfera (valor e sinal).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Lei de Coulomb: a força eletrostática entre duas cargas puntiformes q_1 e q_2 separadas por distância r é
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática ( k\approx 9{,}00\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}). Aqui F é o módulo da força; o sinal (atração ou repulsão) depende dos sinais das cargas.
  • Ao conectar duas esferas condutoras idênticas por um fio condutor, as cargas se redistribuem até que as duas esferas fiquem com o mesmo potencial. Para esferas idênticas isso significa que as cargas finais são iguais entre si. Portanto a carga final em cada esfera é a média aritmética da carga total inicial:
q_{\text{final}}=\frac{q_1+q_2}{2}.
  • Conservação de carga: a soma das cargas antes e depois da ligação é a mesma.

Passo 3

Definindo variáveis e escrevendo as equações iniciais.
Seja q_- o módulo da carga negativa inicial (positivo por definição de módulo) e q_+ a carga positiva inicial (módulo positivo). Então as cargas iniciais são:
q_1 = -q_-,\qquad q_2 = +q_+,\qquad q_-,q_+>0.
Pelo enunciado a carga total inicial é positiva, logo q_+>q_-.
A força inicial (atração) tem módulo
F_1 = k\frac{q_+ q_-}{r^2}.
Após ligá-las, a carga total é q_+ - q_- e cada esfera fica com
q'=\frac{q_+ - q_-}{2}.
Como q_+ - q_->0, as duas ficam com carga positiva e se repelem; o módulo da força após ligação é
F_2 = k\frac{(q')^2}{r^2} = k\frac{\bigl(\dfrac{q_+ - q_-}{2}\bigr)^2}{r^2}.

Passo 4

Eliminar constantes comuns e obter equação entre q_+ e q_-.
Dividindo F_2 por F_1 cancelamos k/r^2:
\frac{F_2}{F_1} = \frac{\bigl(\dfrac{q_+ - q_-}{2}\bigr)^2}{q_+ q_-} = \frac{(q_+ - q_-)^2}{4 q_+ q_-}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{F_2}{F_1} = \frac{0{,}0360}{0{,}108} = \frac{1}{3}.
Portanto
\frac{(q_+ - q_-)^2}{4 q_+ q_-} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Resolver a relação algébrica para a razão entre q_+ e q_-.
Multiplicando ambos os lados por 4q_+ q_-:
(q_+ - q_-)^2 = \frac{4}{3}\,q_+ q_-.
Expandindo o quadrado:
q_+^2 - 2 q_+ q_- + q_-^2 = \frac{4}{3} q_+ q_-.
Rearranjando:
q_+^2 + q_-^2 - \frac{10}{3} q_+ q_- = 0.
Dividindo por q_-^2 e definindo x=\dfrac{q_+}{q_-}>1, obtemos uma equação quadrática em x:
3 x^2 - 10 x + 3 = 0.
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara): o discriminante é \Delta = (-10)^2 - 4\cdot3\cdot3 =100-36=64, \sqrt{\Delta}=8. Assim
x=\frac{10\pm 8}{6}.
As duas soluções são x=3 e x=\tfrac{1}{3}. Como x>1 (porque q_+>q_-), escolhemos
\frac{q_+}{q_-}=3 \quad\Rightarrow\quad q_+=3 q_-.

Passo 6

Determinar os valores numéricos usando F_1.
Da expressão de F_1:
F_1 = k\frac{q_+ q_-}{r^2}.
Como q_+=3 q_-, tem-se q_+ q_-=3 q_-^2. Então
3 q_-^2 = \frac{F_1 r^2}{k}\quad\Rightarrow\quad q_-^2 = \frac{F_1 r^2}{3k}.
Escolhendo k=9{,}00\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} (valor usual), e com F_1=0{,}108\\ \mathrm{N} e r=0{,}50\\ \mathrm{m}, calculamos:
F_1 r^2 = 0{,}108\cdot(0{,}50)^2 = 0{,}108\cdot0{,}25 = 0{,}027.
3k = 3\cdot9{,}00\times10^{9} = 27{,}0\times10^{9}.
q_-^2 = \frac{0{,}027}{27{,}0\times10^{9}} = \frac{1{,}0\times10^{-2}}{1{,}0\times10^{11}} = 1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2}.
Logo
q_- = \sqrt{1{,}0\times10^{-12}} = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 1{,}00\\ \mu\mathrm{C}.
E como q_+=3 q_-,
q_+ = 3{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 3{,}00\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check) para confirmar consistência:
  • Após ligação, carga total q_+-q_-=3{,}00\\ \mu\mathrm{C}-1{,}00\\ \mu\mathrm{C}=2{,}00\\ \mu\mathrm{C}. Cada esfera fica com 1{,}00\\ \mu\mathrm{C}.
  • Força após ligação prevista:
F_2 = k\frac{(1{,}0\times10^{-6})^2}{(0{,}50)^2} =9{,}00\times10^{9}\cdot10^{-12}/0{,}25 =0{,}009/0{,}25=0{,}0360\\ \mathrm{N},
coincidindo com o valor dado. Tudo confere.

Resposta

(a) -1{,}00\\ \mu\mathrm{C}\n
(b) +3{,}00\\ \mu\mathrm{C}

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