5^ a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Encontre as dimensões do maior campo retangular que pode ser fechado com 360 m de cerca.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as dimensões do retângulo de maior área que se pode cercar com 360,m de cerca. Isso é um problema de otimização em cálculo: a área de um retângulo é
A = x,y
sujeita à restrição do perímetro
2x + 2y = 360
Para resolver, vamos expressar A em função de uma só variável e usar derivadas para encontrar o máximo.

Passo 2

Da restrição
2x + 2y = 360
isolamos y:
y = 180 - x
Substituindo em A = x,y, obtemos a função de uma variável
A(x) = x(180 - x) = 180x - x^2,
definida para 0 < x < 180.

Passo 3

Para achar o ponto crítico, calculamos a derivada de A(x):
A'(x) = 180 - 2x
Igualando a zero, vem
180 - 2x = 0 Longrightarrow x = 90

Passo 4

Verificamos que esse ponto é máximo usando a segunda derivada:
A''(x) = -2 < 0,
ou seja, A é côncava e x=90 dá um máximo global no intervalo.

Passo 5

Finalmente, achamos y correspondente:
y = 180 - x = 180 - 90 = 90

Resposta

As dimensões do maior campo são 90,m por 90,m.

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