4^a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Encontre as derivadas de 1^a, 2^a e 3^a ordem da função f(x)= 2 x^6-2 x^5+x^44+2 x^3-x^26+2 x+1.
Solução: Temos que
  • f^prime(x)=(2 x^6-2 x^5+x^44+2 x^3-x^26+2 x+1)^prime=12 x^5-10 x^4+x^3+6 x^2-x3+2.
  • f^prime prime(x)=(f^prime(x))^prime=(12 x^5-10 x^4+x^3+6 x^2-x3+2)^prime=60 x^4-40 x^3+3 x^2+12 x-13.
  • f^prime prime prime(x)=(f^prime prime(x))^prime=(60 x^4-40 x^3+3 x^2+12 x-13)^prime=240 x^3-120 x^2+6 x+12.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função
f(x)=2x^6-2x^5+x^44+2x^3-x^26+2x+1
Para isso vamos usar a regra do poder:
ddxl(a,x^nr)=a,n,x^n-1,
e lembrar que a derivada de uma constante é zero.

Passo 2

Aplicando a regra do poder termo a termo em f(x):
- Derivada de 2x^6 é 12x^5.
- Derivada de -2x^5 é -10x^4.
- Derivada de tfracx^44 é tfrac44x^3=x^3.
- Derivada de 2x^3 é 6x^2.
- Derivada de -tfracx^26 é -tfrac26x=-tfracx3.
- Derivada de 2 é 2.
- Derivada de 1 é 0.
Logo,
f'(x)=12x^5-10x^4+x^3+6x^2-x3+2

Passo 3

Agora derivamos f'(x) termo a termo para obter f''(x):
- Derivada de 12x^5 é 60x^4.
- Derivada de -10x^4 é -40x^3.
- Derivada de x^3 é 3x^2.
- Derivada de 6x^2 é 12x.
- Derivada de -tfracx3 é -tfrac13.
- Derivada de 2 é 0.
Portanto,
f''(x)=60x^4-40x^3+3x^2+12x-13

Passo 4

Finalmente, derivamos f''(x) para achar f'''(x):
- Derivada de 60x^4 é 240x^3.
- Derivada de -40x^3 é -120x^2.
- Derivada de 3x^2 é 6x.
- Derivada de 12x é 12.
- Derivada de -tfrac13 é 0.
Logo,
f'''(x)=240x^3-120x^2+6x+12

Resposta

f'(x)=12x^5-10x^4+x^3+6x^2-tfracx3+2 f''(x)=60x^4-40x^3+3x^2+12x-tfrac13 f'''(x)=240x^3-120x^2+6x+12

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