Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares; classificar e esboçar os retratos de fase.
dotx(t)=[ll1 & +1 4 & -2] x(t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear em R^2
dotx(t)=A,x(t), A=1 & 14 & -2,
classificar o tipo de equilíbrio em 0 e esboçar o retrato de fase. Para isso vamos calcular os autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e ver o sinal de cada autovalor para identificar o tipo de ponto de equilíbrio.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A. Como tr(A)=1+(-2)=-1 e det(A)=1cdot(-2)-4cdot1=-6, o polinômio é
lambda^2 - (trA),lambda + det(A) =lambda^2+ lambda -6=0
Resolvendo,
lambda = -1pmraiz1+242 =-1pm52,
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lambda1=2 e lambda2=-3.

Passo 3

Para lambda1=2 resolvemos (A-2I)v=0:
1-2 & 14 & -2-2!v =-1 & 14 & -4!v=0 Longrightarrow -v1+v2=0
escolhendo v1=1 vem v2=1. Assim
v^(1)=11
Para lambda2=-3 resolvemos (A+3I)v=0:
1+3 & 14 & -2+3!v =4 & 14 & 1!v=0 Longrightarrow 4v1+v2=0
escolhendo v1=1 vem v2=-4. Logo
v^(2)=1-4

Passo 4

A solução geral do sistema é
x(t) =C1,e^2t11 +C2,e^-3t1-4,
onde C1,C2inR são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Os autovalores são reais e de sinais opostos ( lambda1=2>0, lambda2=-3<0). Isso caracteriza um ponto de sela (saddle point) em 0, que é instável: existe uma direção (a do autovetor de lambda1) ao longo da qual as soluções crescem exponencialmente, e uma direção (a do autovetor de lambda2) ao longo da qual elas decaem exponencialmente.

Passo 6

O retrato de fase caracteriza-se por
Variedade instável ao longo da reta x2=x1 (direção de v^(1)), onde as trajetórias saem da origem para tto+infty.
Variedade estável ao longo da reta x2=-4x1 (direção de v^(2)), onde as trajetórias aproximam-se da origem para tto+infty.
Trajetórias genéricas vêm de -infty ao longo de direções próximas à instável, passam perto da origem e saem para +infty em direções próximas à instável, sendo “curvadas” pela atração ao longo da estável antes de se afastarem definitivamente.

Resposta

A solução geral é
x(t) =C1,e^2t11 +C2,e^-3t1-4
O ponto de equilíbrio 0 é um sela instável (saddle point).

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