Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares; classificar e esboçar os retratos de fase. .
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear em R^2
dotx(t)=A,x(t), A=1 & 14 & -2,
classificar o tipo de equilíbrio em 0 e esboçar o retrato de fase. Para isso vamos calcular os autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e ver o sinal de cada autovalor para identificar o tipo de ponto de equilíbrio.
Passo 2
Calcular o polinômio característico de A. Como tr(A)=1+(-2)=-1 e det(A)=1cdot(-2)-4cdot1=-6, o polinômio é
onde C1,C2inR são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Os autovalores são reais e de sinais opostos (lambda1=2>0, lambda2=-3<0). Isso caracteriza um ponto de sela (saddle point) em 0, que é instável: existe uma direção (a do autovetor de lambda1) ao longo da qual as soluções crescem exponencialmente, e uma direção (a do autovetor de lambda2) ao longo da qual elas decaem exponencialmente.
Passo 6
O retrato de fase caracteriza-se por
– Variedade instável ao longo da reta x2=x1 (direção de v^(1)), onde as trajetórias saem da origem para tto+infty.
– Variedade estável ao longo da reta x2=-4x1 (direção de v^(2)), onde as trajetórias aproximam-se da origem para tto+infty.
Trajetórias genéricas vêm de -infty ao longo de direções próximas à instável, passam perto da origem e saem para +infty em direções próximas à instável, sendo “curvadas” pela atração ao longo da estável antes de se afastarem definitivamente.
Resposta
A solução geral é
x(t) =C1,e^2t11 +C2,e^-3t1-4
O ponto de equilíbrio 0 é um sela instável (saddle point).