Questão 3 - Valor: 4 Pontos
Considerando que o orifício passará a funcionara afogado, onde no outro compartimento, o nível da água fica a 2,5 \mathrm{~m} do centro do orifício e, no espaço acima da superfície, a pressão é de 1,5 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Calcular a velocidade do jato e a descarga no orifício sendo \mathrm{cv}=0,97 e \mathrm{cd}=0,61.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei o valor de h e a indicação de pressão da imagem fornecida).
  • A altura vertical entre a superfície livre (centro do reservatório) e o centro do orifício é h=2{,}5\\ \mathrm{m}. (dado extraído da imagem)
  • A pressão no espaço acima da superfície (pressão no topo do líquido) é p_a=1{,}5\\ \mathrm{kgf/cm^2}. (dado do enunciado)
  • A pressão do ambiente para onde o jato sai é p_{atm} (pressão atmosférica).
  • Coeficiente de velocidade: c_v=0{,}97.
  • Coeficiente de descarga: c_d=0{,}61.
    O que o problema pede:
  1. Calcular a velocidade do jato (velocidade real do jato que sai pelo orifício).
  2. Calcular a descarga no orifício (vazão volumétrica Q).
    Observação: o enunciado não dá a área do orifício A. Portanto a vazão Q será apresentada em função de A (ou como vazão específica Q/A).

Passo 2

Entendendo fisicamente e a fórmula que vamos usar (mini-aula rápida e prática).
  • Quando o orifício está submerso e a superfície do líquido está sujeita a uma pressão p_a diferente da pressão externa p_{atm}, a diferença de pressão entre o líquido na superfície e o exterior contribui para empurrar o jato. Além disso há a contribuição do peso do líquido pela coluna h.
  • Pelo princípio de Bernoulli (aplicado entre a superfície livre e o ponto de saída do jato) a velocidade teórica sem perdas que corresponde à diferença de energia por unidade de massa é dada por
v_{\text{teo}}=\sqrt{2\left(\dfrac{p_a-p_{atm}}{\rho}+g\,h\right)}.
Explicando cada termo:
  • \rho é a massa específica do fluido (para água tomamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}).
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • \dfrac{p_a-p_{atm}}{\rho} é a “altura” equivalente associada à diferença de pressão.
  • g\,h é a altura potencial devido à coluna de água.
  • A velocidade real no estrangulamento (vena contratada) costuma ser menor que v_{\text{teo}}. O coeficiente de velocidade c_v ajusta isso:
v = c_v\,v_{\text{teo}}.
  • A vazão volumétrica real através do orifício é dada por
Q = c_d\,A\,v_{\text{teo}},
onde A é a área geométrica do orifício e c_d é o coeficiente de descarga (que já incorpora contração e perdas de velocidade).

Passo 3

Converter unidades da pressão para o Sistema Internacional e calcular a diferença de pressão \Delta p=p_a-p_{atm}.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\\ \mathrm{N} e 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}. Assim
1\\ \mathrm{kgf/cm^2}= \dfrac{9{,}80665\\ \mathrm{N}}{10^{-4}\\ \mathrm{m^2}}=98066{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Então
p_a = 1{,}5\\ \mathrm{kgf/cm^2}=1{,}5\cdot98066{,}5\\ \mathrm{Pa}=147099{,}75\\ \mathrm{Pa}.
  • Tomando p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}, a diferença é
\Delta p = p_a-p_{atm}=147099{,}75-101325=45774{,}75\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a “cota de carga” equivalente \dfrac{\Delta p}{\rho g} e a altura total efetiva H.
  • Usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
\dfrac{\Delta p}{\rho g}=\dfrac{45774{,}75}{1000\cdot9{,}81}=\dfrac{45774{,}75}{9810}\approx4{,}667\\ \mathrm{m}.
  • A altura total equivalente que gera energia é
H=\dfrac{\Delta p}{\rho g}+h=4{,}667+2{,}5=7{,}167\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade teórica e a velocidade real usando c_v.
  • Velocidade teórica sem perdas:
v_{\text{teo}}=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot7{,}167}=\sqrt{140{,}60}\approx11{,}86\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade real (usando c_v=0{,}97):
v=c_v\,v_{\text{teo}}=0{,}97\cdot11{,}86\approx11{,}50\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: o jato sai a cerca de 11{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a descarga (vazão) em função da área A do orifício, usando c_d.
  • Fórmula:
Q=c_d\,A\,v_{\text{teo}}.
  • Substituindo c_d=0{,}61 e v_{\text{teo}}\approx11{,}86\\ \mathrm{m/s}:
Q=0{,}61\;A\;11{,}86 \approx 7{,}23\;A\\ \mathrm{m^3/s},
onde A deve estar em \mathrm{m^2}.
  • Em particular, a vazão específica (vazão por unidade de área) é
\dfrac{Q}{A}=0{,}61\cdot11{,}86\approx7{,}23\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v=11{,}50\\ \mathrm{m/s}
Q=7{,}23\;A\\ \mathrm{m^{3}/s} (onde A é a área do orifício em \mathrm{m^2}; alternativamente Q/A=7{,}23\\ \mathrm{m/s})

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