Questão 2 - Valor 3 Pontos
Um tanque de
de comprimento e
de largura contém uma lâmina d’água de 3 m .
a) Qual o diâmetro que deve ser dado a uma comporta circular de coeficiente de descarga de 0,62 e com centro a 2 m abaixo do nível do reservatório, para que a mesma dê escoamento de 100 l/s ?
b)Qual a dimensão se o orifício for quadrado ?
c) considerando o orifício da letra a), qual será o tempo necessário para abaixar a altura d’água em 1 m ?
a) Qual o diâmetro que deve ser dado a uma comporta circular de coeficiente de descarga de 0,62 e com centro a 2 m abaixo do nível do reservatório, para que a mesma dê escoamento de 100 l/s ?
b)Qual a dimensão se o orifício for quadrado ?
c) considerando o orifício da letra a), qual será o tempo necessário para abaixar a altura d’água em 1 m ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que aparece a seguir foi extraído do enunciado).
- Dimensões do tanque (plano): comprimento
e largura . Logo a área de superfície do tanque é
- Altura inicial da lâmina d’água
. - A comporta (orifício) tem centro localizado
abaixo do nível do reservatório (ou seja, a profundidade do centro do orifício, quando o tanque está cheio, é ). - Coeficiente de descarga da comporta
. - O escoamento desejado é
.
As perguntas:
(a) determinar o diâmetro (de um orifício circular) que forneça;
(b) se o orifício for quadrado, qual a dimensão do lado que entregue o mesmo;
(c) usando o orifício circular da letra (a), qual o tempo necessário para baixar a lâmina d’água em(ou seja, de para ).
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo).
- Para um orifício sob um grande reservatório, a descarga volumétrica é dada pela fórmula empírica:
onde:
-
é a vazão volumétrica ( ); -
é o coeficiente de descarga (adimensional), que incorpora perdas por contração e viscosidade; -
é a área do orifício ( ); -
é a aceleração da gravidade ( ); usaremos ; -
é a carga hidrostática eficaz sobre o orifício. Para um orifício pequeno relativamente à profundidade, costuma-se tomar igual à profundidade do centróide do orifício medida a partir da superfície livre (no nosso caso, o enunciado deu o centro a abaixo, então vamos usar para o cálculo instantâneo pedido nas letras (a) e (b)).
Explicação intuitiva: a raizvem da conversão da energia potencial hidrostática em velocidade de jato (fórmula de Torricelli), e corrige a velocidade efetiva e a área útil do jato.
Passo 3
Resolver a letra (a): arrancar
da fórmula e relacionar com o diâmetro do orifício circular.
A partir de
A partir de
isolamos
:
Substituindo os valores numéricos (vou manter os passos de cálculo bem detalhados):
Calcular primeiro
:
Fazendo a raiz:
Agora o denomindor
é
Logo a área necessária é
Passo 4
Converter a área obtida para diâmetro do orifício circular.
A relação entre área e diâmetro é
A relação entre área e diâmetro é
Substituindo
:
Calculando numericamente:
Ou seja, o diâmetro pedido é aproximadamente
(cerca de
).
Passo 5
Letra (b): se o orifício for quadrado, achar o lado
.
Para um orifício quadrado com lado , a área é
. Igualamos à área avaliada na letra (a):
Para um orifício quadrado com lado
Com
:
Ou seja, o lado do quadrado precisa ser cerca de
(160 mm).
Passo 6
Letra (c): montar o balanço para calcular o tempo de esvaziamento de
na lâmina d’água (de
para
).
- A ideia física: a vazão que sai pelo orifício depende da profundidade instantânea
do centro do orifício em relação à superfície livre. Como o orifício está fixo no tanque a uma cota (que encontramos implicitamente), quando a superfície cai, diminui. Há uma equação de conservação de volume:
ou em termos diferenciais:
onde
é a altura da água (superfície) e
. Como o orifício tem centro na cota tal que, enquanto a superfície varia de
para
, a profundidade do centróide é simplesmente
. Como no início, com
temos
, deduzimos
. Assim durante o esvaziamento de
para
a profundidade
varia de
para
. Para simplificar, observe que
.
Escrevendo a equação diferencial:
Escrevendo a equação diferencial:
ou
Rearranjando para integrar no tempo:
Integramos
desde
até
e
desde
até
:
Note que o sinal foi ajustado para integrar com limites crescentes no integrando positivo.
Passo 7
Calcular a integral e obter expressão fechada para o tempo.
A integral é elementar:
A integral é elementar:
Aplicando os limites
e
:
Portanto
Passo 8
Avaliar numericamente
usando os valores que já encontramos.
Valores conhecidos:
Valores conhecidos:
Calcular
:
Calcular o denominador numérico:
Agora
Multiplicando por
:
Portanto
Passo 9
Interpretação curta e verificação de consistência:
- O tempo calculado (~
) é razoável: o tanque é grande em área mas o orifício projetado tem área relativamente pequena , portanto a descarga de baixa o nível rapidamente uma vez que o orifício tem boa vazão inicial. - Todas as fórmulas usadas são as usuais para orifício submerso em reservatório grande e para a conservação de volume (equação diferencial integrável).
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)