Questão 1: Calcule a integral iterada:
integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
integralx=1^2integraly=0^xintegralz=0^,1-yx^3y^2z,dz,dy,dx
O conteúdo é integração iterada: começamos integrando em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos primeiro em z, tratando ,x^3y^2 como constante:
integral0^,1-yz,dz =z^22|0^,1-y =(1-y)^22
A integral vira
integral1^2integral0^xx^3y^2,(1-y)^22,dy,dx

Passo 3

Colocamos o fator tfrac12 e puxamos x^3 para fora da integral em y:
12integral1^2x^3l[integral0^xy^2(1-y)^2dyr]dx
Agora expandimos y^2(1-y)^2=y^2-2y^3+y^4 e calculamos
integral0^x(y^2-2y^3+y^4)dy =x^33-x^42+x^55

Passo 4

Substituindo de volta, a integral em x fica
12integral1^2x^3l(x^33-x^42+x^55r)dx =12integral1^2l(x^63-x^72+x^85r)dx

Passo 5

Integramos termo a termo em x:
integralx^63dx=x^721, integral -x^72dx=-x^816, integralx^85dx=x^945
Logo a antiderivada é
F(x)=x^721-x^816+x^945,
e a integral vale
12l[F(2)-F(1)r] =12l(464315-375040r) =738710080

Resposta

738710080

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