questão) (Valor 5,0 ptos) Considere uma partícula microscópica movendo-se livremente ao longo do eixo
. Suponha que no instante
a posição da partícula seja medida, e tenha uma incerteza
. Calcule a incerteza na posição da partícula para um tempo
posterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula muito pequena que está se movendo livremente ao longo do eixo $ x $. No instante inicial $ t = 0 $, medimos a posição dela, mas com uma incerteza $ \Delta x $. A pergunta é: qual será a incerteza na posição dessa partícula depois de um tempo $ t $?
Para resolver isso, vamos usar conceitos da Mecânica Quântica, especificamente a Incerteza de Heisenberg, que relaciona a incerteza na posição com a incerteza no momento (quantidade de movimento).
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a Incerteza de Heisenberg, que nos diz que existe um limite fundamental para a precisão com que podemos conhecer, simultaneamente, a posição e o momento de uma partícula. Essa relação é dada por:
Aqui, $ \Delta x $ é a incerteza na posição, $ \Delta p $ é a incerteza no momento, e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $).
Passo 3
Queremos descobrir como a incerteza na posição, $ \Delta x $, evolui ao longo do tempo $ t $. Para isso, precisamos relacionar a incerteza no momento $ \Delta p $ com o tempo.
Sabemos que, para uma partícula livre (sem forças atuando), o momento $ p $ está relacionado à velocidade $ v $ pela fórmula:
Onde $ m $ é a massa da partícula.
A incerteza no momento $ \Delta p $ pode ser expressa através da incerteza na posição inicial $ \Delta x $ usando a relação de Heisenberg:
Agora, a incerteza na posição ao longo do tempo $ \Delta x(t) $ pode ser estimada considerando que a incerteza na posição inicial se propaga devido à incerteza no momento. Essa propagação é dada por:
Substituindo $ \Delta p $ da relação de Heisenberg:
Resposta
A incerteza na posição da partícula após um tempo $ t $ é dada por: