A catástrofe do ultra-violeta é uma falha no modelo clássico para a radiação de corpo negro. Rayleigh-Jeans fizeram cálculos para determinar a energia média de corpos negros em equilíbrio térmico.
(a) (Valor 5,0 ptos) Determine (calcule) a energia média clássica de RayleighJeans.
(b) (Valor 5,0 ptos) Discuta (analise) do ponto de vista físico os resultados da energia média (Rayleigh Jeans e Planck), em detalhes, comparando o resultado obtido no item a e o resultado obtido por Planck dado - por E = heh v/v.kT-1
(a) (Valor 5,0 ptos) Determine (calcule) a energia média clássica de RayleighJeans.
(b) (Valor 5,0 ptos) Discuta (analise) do ponto de vista físico os resultados da energia média (Rayleigh Jeans e Planck), em detalhes, comparando o resultado obtido no item a e o resultado obtido por Planck dado - por E = heh v/v.kT-1
Passo 1
Beleza, então o enunciado está dizendo que o modelo clássico de Rayleigh–Jeans para radiação de corpo negro dá um resultado furado (a tal “catástrofe do ultravioleta”). A gente vai:
- calcular a energia média clássica que esse modelo prevê;
- comparar esse resultado com a fórmula de Planck
e entender fisicamente por que o clássico dá problema e o de Planck não.
O conteúdo é radiação de corpo negro, teorema da equipartição e, depois, a hipótese quântica de Planck. Vamos precisar saber:
O conteúdo é radiação de corpo negro, teorema da equipartição e, depois, a hipótese quântica de Planck. Vamos precisar saber:
- que, no clássico, cada modo de oscilação tem energia média igual a
(equipartição); - como isso gera densidade de energia divergente;
- como a hipótese de quantização muda esse resultado.
Passo 2
Vamos usar o teorema da equipartição de energia, que diz que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade quadrático tem energia média
.
Um oscilador harmônico (modelo de cada modo da cavidade) tem duas partes quadráticas: energia cinética e energia potencial. Logo, somando as duas, dá
Um oscilador harmônico (modelo de cada modo da cavidade) tem duas partes quadráticas: energia cinética e energia potencial. Logo, somando as duas, dá
Esse é o resultado clássico de Rayleigh–Jeans para a energia média de cada modo de frequência
.
Passo 3
Agora, se quisermos a densidade espectral de energia (energia por volume e por intervalo de frequência), contamos quantos modos existem entre
e
. Num volume
, o número de modos é
Multiplicando pelo
, obtemos a lei de Rayleigh–Jeans:
Se integrar isso de
a
, dá infinito! É a “catástrofe do ultravioleta”: o clássico prevê energia total infinita, o que é absurdo.
Passo 4
Planck resolveu isso supondo que cada oscilador só pode trocar energia em pacotes quânticos
. Fazendo a estatística de Boltzmann para esses níveis chega-se à média
Daí a densidade espectral fica
que, para
, cai exponencialmente e não diverge.
Passo 5
Comparando direto:
- Rayleigh–Jeans diz
independentemente de . Todo modo alto recebe a mesma energia, e somando dá infinito. - Planck diz
. Para isso se aproxima de (limite clássico), mas para cai como . Aí a soma/integral converge e não temos catástrofe.
Resposta
(a) No modelo clássico de Rayleigh–Jeans a energia média de cada modo é
(b) Fisicamente, isso leva à “catástrofe do ultravioleta” porque, ao somar ou integrar sobre todas as frequências, a energia total diverge. Já a fórmula de Planck
decai exponencialmente para altas
, garantindo energia finita. A diferença-chave é a quantização da energia de cada modo.