A catástrofe do ultra-violeta é uma falha no modelo clássico para a radiação de corpo negro. Rayleigh-Jeans fizeram cálculos para determinar a energia média de corpos negros em equilíbrio térmico.
(a) (Valor 5,0 ptos) Determine (calcule) a energia média clássica de RayleighJeans.
(b) (Valor 5,0 ptos) Discuta (analise) do ponto de vista físico os resultados da energia média (Rayleigh Jeans e Planck), em detalhes, comparando o resultado obtido no item a e o resultado obtido por Planck dado - por E = heh v/v.kT-1

Passo 1

Beleza, então o enunciado está dizendo que o modelo clássico de Rayleigh–Jeans para radiação de corpo negro dá um resultado furado (a tal “catástrofe do ultravioleta”). A gente vai:
  1. calcular a energia média clássica que esse modelo prevê;
  2. comparar esse resultado com a fórmula de Planck
E(nu)=h,nue^hnu/(kB T)-1
e entender fisicamente por que o clássico dá problema e o de Planck não.
O conteúdo é radiação de corpo negro, teorema da equipartição e, depois, a hipótese quântica de Planck. Vamos precisar saber:
  • que, no clássico, cada modo de oscilação tem energia média igual a (equipartição);
  • como isso gera densidade de energia divergente;
  • como a hipótese de quantização muda esse resultado.

Passo 2

Vamos usar o teorema da equipartição de energia, que diz que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade quadrático tem energia média lang<= Erang<=rm oscilador = tfrac12 kB T + tfrac12 kB T = kB T .
Um oscilador harmônico (modelo de cada modo da cavidade) tem duas partes quadráticas: energia cinética e energia potencial. Logo, somando as duas, dá
Esse é o resultado clássico de Rayleigh–Jeans para a energia média de cada modo de frequência .

Passo 3

Agora, se quisermos a densidade espectral de energia (energia por volume e por intervalo de frequência), contamos quantos modos existem entre g(nu),dnu = 8pi ,nu^2c^3,V,dnu e u(nu,T),dnu = 8pi ,nu^2c^3,kB T,dnu . Num volume , o número de modos é
Multiplicando pelo , obtemos a lei de Rayleigh–Jeans:
Se integrar isso de a , dá infinito! É a “catástrofe do ultravioleta”: o clássico prevê energia total infinita, o que é absurdo.

Passo 4

Planck resolveu isso supondo que cada oscilador só pode trocar energia em pacotes quânticos lang<= Erang<=rm Planck =sumn n,hnu,e^-n hnu/(kB T)% sumn e^-n hnu/(kB T) =hnue^hnu/(kB T)-1 . Fazendo a estatística de Boltzmann para esses níveis chega-se à média
u(nu,T),dnu =8pi ,nu^2c^3, hnue^hnu/(kB T)-1,dnu,
Daí a densidade espectral fica
que, para , cai exponencialmente e não diverge.

Passo 5

Comparando direto:
  • Rayleigh–Jeans diz independentemente de . Todo modo alto recebe a mesma energia, e somando dá infinito.
  • Planck diz . Para isso se aproxima de (limite clássico), mas para cai como . Aí a soma/integral converge e não temos catástrofe.

Resposta

(a) No modelo clássico de Rayleigh–Jeans a energia média de cada modo é
boxedlang<= Erang<=rm RJ=kB T
(b) Fisicamente, isso leva à “catástrofe do ultravioleta” porque, ao somar ou integrar sobre todas as frequências, a energia total diverge. Já a fórmula de Planck
lang<= Erang<=rm Planck =hnue^hnu/(kB T)-1
decai exponencialmente para altas , garantindo energia finita. A diferença-chave é a quantização da energia de cada modo.

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