4^ a questão) a) (Valor 3,0 ptos) Obtenha a expressão do raio da órbita quantizada proposta por Bohr para o átomo de Hidrogênio considerando a quantização de Bohr para o momento angular e, portanto, em função do número inteiro n.
b) (Valor 3,0 ptos) Calcule o raio para a primeira órbita do elétron para o átomo de Hidrogênio considerando a quantização usada no item a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Primeiro, precisamos entender como o Bohr quantizou o momento angular dos elétrons e como isso nos dá uma expressão para o raio das órbitas. Depois, vamos usar essa expressão para calcular o raio da primeira órbita quando n é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, no modelo de Bohr, o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo. Bohr propôs que o momento angular do elétron é quantizado, ou seja, só pode assumir certos valores. A condição de quantização de Bohr para o momento angular é dada por:
L = me v r = n hbar
onde:
  • L é o momento angular,
  • me é a massa do elétron,
  • v é a velocidade do elétron,
  • r é o raio da órbita,
  • n é um número inteiro (n = 1, 2, 3, …),
  • hbar é a constante de Planck reduzida ( hbar = h2pi).

Passo 3

Agora, vamos equilibrar as forças no elétron. A força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força de atração eletrostática entre o elétron e o próton no núcleo. A força eletrostática é dada pela Lei de Coulomb:
F = k e^2r^2
onde:
  • k é a constante de Coulomb ( k approx 8,99 times 10^9 , N m^2/C^2),
  • e é a carga do elétron.
A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é:
Fcentrípeta = me v^2r í

Passo 4

Igualando as duas forças para manter o equilíbrio:
me v^2r = k e^2r^2
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por r^2:
me v^2 r = k e^2

Passo 5

Agora, vamos usar a condição de quantização de Bohr que mencionamos no Passo 2:
me v r = n hbar
Podemos isolar v:
v = n hbarme r

Passo 6

Substituindo essa expressão de v na equação da força centrípeta:
me (n hbarme r)^2 r = k e^2
Simplificando:
n^2 hbar^2me r^2 r = k e^2
n^2 hbar^2me r = k e^2

Passo 7

Agora, vamos resolver para r:
r = n^2 hbar^2k me e^2
Essa é a expressão do raio da órbita quantizada de Bohr para o átomo de Hidrogênio em função do número inteiro n.

Passo 8

Para calcular o raio da primeira órbita ( n = 1), vamos usar a expressão que encontramos:
r1 = 1^2 hbar^2k me e^2
Agora, vamos substituir os valores das constantes:
  • hbar approx 1,0545718 times 10^-34 , J s,
  • k approx 8,99 times 10^9 , N m^2/C^2,
  • me approx 9,10938356 times 10^-31 , kg,
  • e approx 1,602176634 times 10^-19 , C.

Resposta

Após calcular, o raio da primeira órbita do elétron no átomo de Hidrogênio é aproximadamente:
r1 approx 5,29 times 10^-11 , metros

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