questão) a) (Valor 3,0 ptos) Obtenha a expressão do raio da órbita quantizada proposta por Bohr para o átomo de Hidrogênio considerando a quantização de Bohr para o momento angular e, portanto, em função do número inteiro
.
b) (Valor 3,0 ptos) Calcule o raio para a primeira órbita do elétron para o átomo de Hidrogênio considerando a quantização usada no item a.
b) (Valor 3,0 ptos) Calcule o raio para a primeira órbita do elétron para o átomo de Hidrogênio considerando a quantização usada no item a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Primeiro, precisamos entender como o Bohr quantizou o momento angular dos elétrons e como isso nos dá uma expressão para o raio das órbitas. Depois, vamos usar essa expressão para calcular o raio da primeira órbita quando n é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, no modelo de Bohr, o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo. Bohr propôs que o momento angular do elétron é quantizado, ou seja, só pode assumir certos valores. A condição de quantização de Bohr para o momento angular é dada por:
onde:
-
é o momento angular, -
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron, -
é o raio da órbita, -
é um número inteiro (n = 1, 2, 3, …), -
é a constante de Planck reduzida ( ).
Passo 3
Agora, vamos equilibrar as forças no elétron. A força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força de atração eletrostática entre o elétron e o próton no núcleo. A força eletrostática é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
-
é a constante de Coulomb ( ), -
é a carga do elétron.
A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é:
Passo 4
Igualando as duas forças para manter o equilíbrio:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição de quantização de Bohr que mencionamos no Passo 2:
Podemos isolar
:
Passo 6
Substituindo essa expressão de
na equação da força centrípeta:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Essa é a expressão do raio da órbita quantizada de Bohr para o átomo de Hidrogênio em função do número inteiro
.
Passo 8
Para calcular o raio da primeira órbita (
), vamos usar a expressão que encontramos:
Agora, vamos substituir os valores das constantes:
-
, -
, -
, -
.
Resposta
Após calcular, o raio da primeira órbita do elétron no átomo de Hidrogênio é aproximadamente: