Questão 2 (valor: 3,0): Esta questão trata da Distribuição de Probabilidade de uma v.a. aleatória discreta e o cálculo de seus parâmetros: Média e Desvio Padrão.
a) (valor 1,0) Apresente, por meio de uma tabela, a Distribuição de Probabilidade de uma variável aleatória \boldsymbol{X}, cujos possíveis valores devem ser criados por você. (OBS. Nessa tabela você deve criar os valores para a variável aleatória X, e, para cada valor de X, você tem que associar a respectiva probabilidade. Lembre-se que a soma total das probabilidades deve ser igual a 1.
b) (valor: 1,0 ) Calcule a esperança matemática \mathrm{E}(\mathrm{x}) (média) da v.a. \boldsymbol{X}
c) (valor: 1,0 ) Calcule o desvio padrão da v.a. \boldsymbol{X}

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina uma v.a. discreta X, apresente sua distribuição de probabilidade em forma de tabela, e depois calcule a esperança \mathrm{E}(X) (média) e o desvio padrão. Para isso, precisamos lembrar que em qualquer distribuição discreta as probabilidades P(X=x_i) satisfazem
  1. 0 \le P(X=x_i)\le1 para todo i
  2. \sum_i P(X=x_i)=1
    e que
\mathrm{E}(X)=\sum_i x_i\,P(X=x_i),
\mathrm{Var}(X)=\sum_i x_i^2\,P(X=x_i)-\bigl[\mathrm{E}(X)\bigr]^2,
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Vamos criar uma tabela simples com três valores possíveis para X. Escolhemos
X\in\{0,1,2\},
e atribuímos as seguintes probabilidades, que somam 1:
\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 2 \\\ \hline P(X=x) & 0,2 & 0,5 & 0,3 \end{array}
Aqui 0,2+0,5+0,3=1, ok.

Passo 3

Calcular a esperança \mathrm{E}(X). Usando
\mathrm{E}(X)=\sum_i x_i\,P(X=x_i),
temos
\mathrm{E}(X)=0\cdot0,2+1\cdot0,5+2\cdot0,3=0+0,5+0,6=1,1.

Passo 4

Calcular E(X^2) e a variância. Primeiro
E(X^2)=0^2\cdot0,2+1^2\cdot0,5+2^2\cdot0,3=0+0,5+4\cdot0,3=0,5+1,2=1,7.
Então
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\bigl[E(X)\bigr]^2=1,7-(1,1)^2=1,7-1,21=0,49.

Passo 5

Calcular o desvio padrão \sigma_X:
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{0,49}=0,7.

Resposta

Distribuição de probabilidade
\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 2 \\\ \hline P(X=x) & 0,2 & 0,5 & 0,3 \end{array}
Esperança: \mathrm{E}(X)=1,1
Desvio padrão: \sigma_X=0,7

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