Questão 3 (valor: 2,0) Para resolver esta questão você deve usar o modelo BINOMIAL de probabilidade. Na Fazenda Coelho Gordo são criados coelhos de certa raça cuja probabilidade de nascer um macho é \boldsymbol{p}. Determine um valor para essa probabilidade \boldsymbol{p}, e, com base nesse valor que você atribuiu calcule a probabilidade de que, num dia em que nasceram 5 coelhos, nesses cinco nascimentos ocorra:
a) Todos os cinco coelhos machos
b) Exatamente duas fêmeas

Passo 1

O enunciado pede para modelar o número de coelhos machos que nascem num dia com 5 nascimentos usando o modelo de Bernoulli repetido (ou seja, distribuição binomial). Vamos chamar de X a quantidade de machos em 5 nascimentos e supor que cada nascimento é independente e tem mesma probabilidade \,p de ser macho. Neste exercício, escolhemos
p = 0,5
para facilitar os cálculos.

Passo 2

Recordando a fórmula da distribuição binomial, para n=5 e probabilidade p de “sucesso” (nascimento de macho),
P(X = k) \;=\;\binom{5}{k}\,p^k\,(1-p)^{5-k}.
(a) Queremos todos os cinco coelhos machos, ou seja k=5. Logo,
P(X=5) \;=\;p^5.

Passo 3

Substituindo p=0,5 em P(X=5)=p^5, obtemos
P(X=5) \;=\;(0,5)^5 \;=\;\frac{1}{32}.

Passo 4

(b) Para ter exatamente duas fêmeas em 5 nascimentos, note que isso é equivalente a ter exatamente três machos X=3, pois 5-2=3. Então
P(\text{duas fêmeas}) \;=\;P(X=3) \;=\;\binom{5}{3}\,p^3\,(1-p)^{2}.ê
Substituindo p=0,5,
P(X=3) \;=\;\binom{5}{3}\,(0,5)^3\,(0,5)^2 \;=\;10\,(0,5)^5 \;=\;\frac{10}{32} \;=\;\frac{5}{16}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{1}{32}.
b) \displaystyle \frac{5}{16}.

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