Questão 4. (Valor 3,0) Seja T: R^{3} \rightarrow R^{3} uma transformação linear tal que:
  • T(1,-20)=(-1,2,0),
  • T(0,-2,1)=(0,2,-1) e
  • T(2,1,2)=(16,8,16).
Deterrmine.
a) A matriz canônica da trasnformação.
b) Uma base e dimensão do núcleo de T.
c) Uma base e dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado diz que T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 é linear e fornece
T(1,-2,0)=(-1,2,0),\quad T(0,-2,1)=(0,2,-1),\quad T(2,1,2)=(16,8,16).
Precisamos achar
a) a matriz canônica A de T,
b) uma base e a dimensão de \ker T,
c) uma base e a dimensão de \operatorname{im}T.

Passo 2

Seja
A=\begin{pmatrix} \ell_1&\ell_2&\ell_3 \end{pmatrix},
onde \ell_j são as colunas de A. Como T(x,y,z)=x\ell_1+y\ell_2+z\ell_3, dos vetores dados temos:
T(1,-2,0)=\ell_1-2\ell_2=(-1,2,0), \tag{1}
T(0,-2,1)=-2\ell_2+\ell_3=(0,2,-1), \tag{2}
T(2,1,2)=2\ell_1+\ell_2+2\ell_3=(16,8,16). \tag{3}

Passo 3

Das equações (1) e (2) expressamos
\ell_1=(-1,2,0)+2\ell_2, \qquad \ell_3=(0,2,-1)+2\ell_2.
Substituindo em (3):
2\bigl((-1,2,0)+2\ell_2\bigr)+\ell_2+2\bigl((0,2,-1)+2\ell_2\bigr) =(16,8,16).
Isso dá
(-2,4,0)+(4+1+4)\ell_2+(0,4,-2)=(16,8,16) \;\Longrightarrow\; 9\ell_2=(18,0,18) \;\Longrightarrow\; \ell_2=(2,0,2).

Passo 4

Agora
\ell_1=(-1,2,0)+2(2,0,2)=(3,2,4), \qquad \ell_3=(0,2,-1)+2(2,0,2)=(4,2,3).
Logo a matriz canônica é
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para \ker T\) resolvemos \(A(x,y,z)^T=0\), isto é \[\begin{cases} 3x+2y+4z=0,\\\\ 2x\;+\;2z=0,\\\\ 4x+2y+3z=0. \end{cases}
Da segunda equação x=-z\]. Substituindo nas demais vem \(y=-\tfrac z2 e, pela terceira, -2z=0, logo z=0. Assim x=y=z=0 é solução única.
Dimensão do núcleo: \dim\ker T=0.
Base de \ker T: conjunto vazio (ou apenas o vetor zero, mas convencionamos base vazia).

Passo 6

Pela forma de A e por termos três colunas linearmente independentes, \operatorname{rank}A=3.
Logo \dim\operatorname{im}T=3 e \operatorname{im}T=\mathbb R^3.
Uma base explícita de \operatorname{im}T é dada pelas colunas de A:
\{(3,2,4),\,(2,0,2),\,(4,2,3)\}.

Resposta

a) A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
b) \displaystyle \dim\ker T=0, base \varnothing.
c) \displaystyle \dim\operatorname{im}T=3, base \{(3,2,4),(2,0,2),(4,2,3)\}.

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