Questão 3. (Valor 2,0) Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-4 z+3 r-s=0 \\\ x+2 y-2 z+2 r+s=0 \\\\ 2 x+4 y-2 z+3 r+4 s=0 \end{array}\right.
a) Determine uma base e dimensão do seu conjunto solução.
b) Um conjunto LD com 2 vetores do Espaço solução, se possível.
c) Um conjunto LI com 3 vetores do Espaço solução, se possível.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações em cinco incógnitas (x,y,z,r,s) e pede: a) base e dimensão do espaço solução; b) um conjunto linearmente dependente de 2 vetores desse espaço; c) um conjunto linearmente independente de 3 vetores desse espaço. O conteúdo é resolução de sistemas por eliminação de Gauss, identificação de variáveis livres e compreensão de dimensão e independência linear.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada e aplicamos eliminação de Gauss:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 3 & -1 & 0\\\\ 1 & 2 & -2 & 2 & 1 & 0\\\\ 2 & 4 & -2 & 3 & 4 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{L_2\!-\!L_1,\;L_3\!-\!2L_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 & -3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{L_3-3L_2}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Os pivôs estão em x (coluna 1) e em z (coluna 3), logo y,r,s são variáveis livres. O posto é 2, então a dimensão do espaço solução é 5-2=3.

Passo 3

Da segunda linha:
2z - r + 2s = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac12\,r - s.
Da primeira linha:
x + 2y - 4z + 3r - s = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2y +4z -3r + s = -2y - r - 3s.
Escrevendo (x,y,z,r,s) em função dos parâmetros y,r,s:
(x,y,z,r,s) = y\,(-2,1,0,0,0) + r\,\bigl(-1,0,\tfrac12,1,0\bigr) + s\,(-3,0,-1,0,1).
Portanto uma base conveniente é
v_1 = (-2,1,0,0,0),\quad v_2 = \bigl(-1,0,\tfrac12,1,0\bigr),\quad v_3 = (-3,0,-1,0,1),
e a dimensão do espaço solução é 3.

Passo 4

Para um conjunto linearmente dependente com 2 vetores podemos escolher, por exemplo,
\{\,v_1,\;2v_1\},
pois 2v_1 - 2\cdot v_1 = 0, ou seja, um vetor é múltiplo do outro.

Passo 5

Como a dimensão é 3, existe um conjunto de 3 vetores linearmente independentes. Basta tomar a própria base:
\{\,v_1,\;v_2,\;v_3\},
que é linearmente independente por construção.

Resposta

a) \dim=3 e uma base é
\{\,(-2,1,0,0,0),\;(-1,0,\tfrac12,1,0),\;(-3,0,-1,0,1)\}.
b) Um conjunto LD de 2 vetores: \{\,v_1,2v_1\}.
c) Um conjunto LI de 3 vetores: \{\,v_1,v_2,v_3\}.

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