Questão 2. (Valor 2,0) Mostre os casos a seguir:
Em \mathrm{P}_{2}, mostre que o conjunto \left(1+x+x^{2}, 1-x+3 x^{2}, 1+3 x-x^{2}\right) é LI ou LD. Sendo LD escreva um como combinação linear do outro.

Passo 1

O enunciado pede para testar se o conjunto de polinômios \bigl(1 + x + x^{2},\;1 - x + 3x^{2},\;1 + 3x - x^{2}\bigr)
em \mathrm{P}_{2} é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Para isso, vamos usar a base canônica \{1,x,x^{2}\}, escrever cada polinômio em coordenadas e analisar a combinação linear.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas desses polinômios na base \{1,x,x^{2}\}, temos
v_{1} = 1 + x + x^{2} \longmapsto (1,\,1,\,1), \quad v_{2} = 1 - x + 3x^{2} \longmapsto (1,\,-1,\,3), \quad v_{3} = 1 + 3x - x^{2} \longmapsto (1,\,3,\,-1).
Montamos a matriz cujas linhas são essas coordenadas:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 3\\\\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A pela regra de Sarrus ou expansão:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1&3\\\ 3&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&3\\\ 1&-1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&-1\\\ 1&3\end{pmatrix}.
Agora,
\det\!\begin{pmatrix}-1&3\\\ 3&-1\end{pmatrix} =(-1)\cdot(-1)-3\cdot3=-8,
\det\!\begin{pmatrix}1&3\\\ 1&-1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-3\cdot1=-4,
\det\!\begin{pmatrix}1&-1\\\ 1&3\end{pmatrix} =1\cdot3-(-1)\cdot1=4.
Somando, \det(A) = (-8) -(-4) + 4 = 0. Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

Para achar a relação de dependência, consideramos
a\,v_{1} + b\,v_{2} + c\,v_{3} = 0,
isto é, no vetor coluna de coordenadas:
a\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + b + c = 0,\\\ a - b + 3c = 0,\\\ a + 3b - c = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação das outras, obtemos c=b e a=-2b.
Escolhendo b=1, vem a=-2 e c=1, ou seja,
-2\,v_{1} + 1\,v_{2} + 1\,v_{3} = 0.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.
Uma relação não trivial é
-2\,(1 + x + x^{2}) \;+\;(1 - x + 3x^{2})\;+\;(1 + 3x - x^{2}) \;=\;0,
ou equivalentemente
1 + x + x^{2} =\tfrac12\bigl(1 - x + 3x^{2}\bigr) +\tfrac12\bigl(1 + 3x - x^{2}\bigr).

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