Questão 3: O valor da série telescópica:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(2 n+1)(2 n+3)}
A) 1 / 4
B) 1 / 3
C) 1 / 2
D) 1
E) 2
F) 3

Passo 1

O enunciado pede o valor da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(2 n+1)(2 n+3)}.
As alternativas oferecidas são:
A) 1/4
B) 1/3
C) 1/2
D) 1
E) 2
F) 3

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da soma e ver se ele pode ser escrito como diferença de duas frações simples (isso facilita muito somas que “se telescopam”). A ideia é escrever
\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3},
onde A e B são constantes a determinar.
Explicando a ideia: a técnica de frações parciais consiste em expressar uma fração racional como soma de frações mais simples cuja soma em série frequentemente cancela termos sucessivos. Aqui cada denominador é linear em n, então essa forma funciona bem.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (2n+1)(2n+3) obtemos a identidade
2 = A(2n+3) + B(2n+1).
Agora igualamos coeficientes em n e constantes. Desenvolvendo o lado direito:
A(2n+3)+B(2n+1)=(2A+2B)n + (3A + B).
Comparando com o lado esquerdo (que é 2, isto é, 0\cdot n + 2), obtemos o sistema
2A+2B=0 \quad\text{e}\quad 3A+B=2.
Da primeira equação vem A+B=0, então B=-A. Substituindo na segunda:
3A + (-A)=2 \Rightarrow 2A=2 \Rightarrow A=1.
Logo B=-1.

Passo 4

Com A=1 e B=-1 temos a decomposição
\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}.
Isto é uma forma típica que gera cancelamentos quando somamos vários termos consecutivos — por isso chamamos de série telescópica.

Passo 5

Agora formamos a soma parcial até N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right).
Vamos escrever os primeiros termos explicitamente para ver os cancelamentos:
\begin{aligned} S_N &= \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2N+1}-\frac{1}{2N+3}\right). \end{aligned}
Observe que muitos termos se anulam: -\frac{1}{5} cancela com +\frac{1}{5}, -\frac{1}{7} com +\frac{1}{7}, e assim por diante. O que sobra depois de todos os cancelamentos é
S_N = \frac{1}{3} - \frac{1}{2N+3}.

Passo 6

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando N\to\infty:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2N+3}\right).
Como \displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+3}=0, concluímos que a soma é
\frac{1}{3}.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a resposta corresponde à letra B.

Resposta

B) 1/3

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