Questão 3: O valor da série telescópica:
A)
B)
C)
D) 1
E) 2
F) 3
B)
C)
D) 1
E) 2
F) 3
Passo 1
O enunciado pede o valor da série infinita
As alternativas oferecidas são:
A)
B)
C)
D)
E)
F)
A)
B)
C)
D)
E)
F)
Passo 2
Vamos analisar o termo geral da soma e ver se ele pode ser escrito como diferença de duas frações simples (isso facilita muito somas que “se telescopam”). A ideia é escrever
onde
e
são constantes a determinar.
Explicando a ideia: a técnica de frações parciais consiste em expressar uma fração racional como soma de frações mais simples cuja soma em série frequentemente cancela termos sucessivos. Aqui cada denominador é linear em
, então essa forma funciona bem.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Agora igualamos coeficientes em
e constantes. Desenvolvendo o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo (que é
, isto é,
), obtemos o sistema
Da primeira equação vem
, então
. Substituindo na segunda:
Logo
.
Passo 4
Com
e
temos a decomposição
Isto é uma forma típica que gera cancelamentos quando somamos vários termos consecutivos — por isso chamamos de série telescópica.
Passo 5
Agora formamos a soma parcial até
:
Vamos escrever os primeiros termos explicitamente para ver os cancelamentos:
Observe que muitos termos se anulam:
cancela com
,
com
, e assim por diante. O que sobra depois de todos os cancelamentos é
Passo 6
Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando
:
Como
, concluímos que a soma é
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas, a resposta corresponde à letra B.
Resposta
B)