(SARESP 2013) João e André desejavam fazer caminhadas diárias e planejaram seus treinamentos nas seguintes condições:
  1. João decidiu começar caminhando 3 km no primeiro dia e, nos dias seguintes, aumentar o percurso diariamente em 2 km com relação ao percurso anterior.
  2. André decidiu começar caminhando 7 km no primeiro dia e, nos dias seguintes, aumentar o percurso diariamente em 1 km com relação ao percurso do dia anterior.
Todos os dias, após o treino, eles se encontravam e um contava para o outro quanto havia caminhado naquele dia. Certo dia verificaram que, naquele dia, haviam caminhado a mesma distância.
A distância caminhada por cada um deles nesse dia foi

Passo 1

O enunciado trata de dois treinos diários que formam progressões aritméticas. João começa caminhando 3 km e aumenta 2 km por dia; André começa com 7 km e aumenta 1 km por dia. Precisamos modelar cada sequência, achar o termo geral e descobrir em que dia as distâncias coincidem, bem como qual é essa distância.

Passo 2

Uma progressão aritmética (PA) é dada pelo primeiro termo e pela diferença comum.
Para João, o primeiro termo é a_1=3 e a razão é r=2, logo o termo do dia n é
a_n = 3 + (n-1)\cdot 2.
Para André, o primeiro termo é b_1=7 e a razão é s=1, logo o termo do dia n é
b_n = 7 + (n-1)\cdot 1.

Passo 3

Queremos o valor de n tal que a_n = b_n. Igualando:
3 + 2(n-1) = 7 + 1\cdot(n-1).
Resolvendo,
3 + 2n - 2 = 7 + n - 1
2n + 1 = n + 6
n = 5.

Passo 4

No dia n=5, a distância que cada um caminhou é
a_5 = 3 + 2\cdot(5-1) = 3 + 8 = 11\text{ km}.

Resposta

A distância foi de 11 km para cada um.

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