(SARESP 2013) João e André desejavam fazer caminhadas diárias e planejaram seus treinamentos nas seguintes condições:
- João decidiu começar caminhando 3 km no primeiro dia e, nos dias seguintes, aumentar o percurso diariamente em 2 km com relação ao percurso anterior.
- André decidiu começar caminhando 7 km no primeiro dia e, nos dias seguintes, aumentar o percurso diariamente em 1 km com relação ao percurso do dia anterior.
Todos os dias, após o treino, eles se encontravam e um contava para o outro quanto havia caminhado naquele dia. Certo dia verificaram que, naquele dia, haviam caminhado a mesma distância.
A distância caminhada por cada um deles nesse dia foi
Passo 1
O enunciado trata de dois treinos diários que formam progressões aritméticas. João começa caminhando
km e aumenta
km por dia; André começa com
km e aumenta
km por dia. Precisamos modelar cada sequência, achar o termo geral e descobrir em que dia as distâncias coincidem, bem como qual é essa distância.
Passo 2
Uma progressão aritmética (PA) é dada pelo primeiro termo e pela diferença comum.
Para João, o primeiro termo é e a razão é
, logo o termo do dia
é
Para João, o primeiro termo é
Para André, o primeiro termo é
e a razão é
, logo o termo do dia
é
Passo 3
Queremos o valor de
tal que
. Igualando:
Resolvendo,
Passo 4
No dia
, a distância que cada um caminhou é
Resposta
A distância foi de 11 km para cada um.