Questão 2. Três aviões iguais, com asas elípticas de razão de aspecto igual a 6, voam em uma formação em V a 67 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com C_{L}=1,2. Os dois seguidores se posicionam a uma distância igual a uma envergadura atrás do líder e a mesma distância um do outro, considerando as pontas das asas. Estime a redução percentual do arrasto induzido devido à esta formação.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a redução percentual do arrasto induzido quando três aviões idênticos voam em formação em V com as posições dos seguidores especificadas. Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • Três aviões idênticos.
  • Razão de aspecto da asa: \mathrm{AR}=6.
  • Velocidade de voo: V=67\\ \mathrm{m/s}. (valor dado, mas não será necessário para o percentual.)
  • Coeficiente de sustentação de cada avião: C_L=1{,}2.
  • Geometria da formação: os dois seguidores estão posicionados a uma distância igual a uma envergadura atrás do líder e a mesma distância entre si, “considerando as pontas das asas”. Vou usar essa informação para estimar a extensão lateral total da formação (distância entre as pontas exteriores das asas) como sendo aproximadamente 2 vezes a envergadura de uma asa única (ver desenvolvimento e hipótese nos passos seguintes).
    O que é pedido:
  • Estimar a redução percentual do arrasto induzido causada por essa formação, comparando com os três aviões voando isoladamente (soma dos arrastos induzidos individuais).

Passo 2

Lembrando a fórmula básica do arrasto induzido de uma asa (fórmula que vou usar).
  • Para uma asa com distribuição de sustentação aproximadamente elíptica (onde a eficiência é ótima, e\approx1), o coeficiente de arrasto induzido vale
C_{D,i}=\frac{C_L^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}\,e}.
Expliquei cada termo:
  • C_{D,i} é o coeficiente de arrasto induzido (valor adimensional).
  • C_L é o coeficiente de sustentação da asa (adimensional).
  • \mathrm{AR} é a razão de aspecto da asa, definida por \mathrm{AR}=b^{2}/S, onde b é a envergadura e S a área da asa.
  • e é o fator de eficiência de Oswald; para asas com distribuição elíptica ideal toma-se e\approx1.
    Raciocínio físico que usarei:
  • O arrasto induzido depende de quão “efetiva” é a envergadura para gerar sustentação com pouco vórtice: quanto maior a envergadura efetiva para uma mesma área sustentada, menor o arrasto induzido.
  • Ao colocar várias asas próximas em formação, a distribuição de vórtices traseiros pode fazer com que a formação, vista de longe, se comporte como um sistema com envergadura efetiva maior do que a de um só avião, reduzindo o arrasto induzido total. Vou modelar de forma simples a formação como um único sistema de área total 3S e envergadura igual à distância lateral entre as pontas exteriores das asas da formação (hipótese simplificadora, comum em estimativas de primeira ordem).

Passo 3

Avalio primeiro o arrasto induzido de um avião isolado (coeficiente) — só para referência numérica e para ver que as constantes cancelam ao fazer razão:
C_{D,i,\text{isolado}}=\frac{C_L^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}\,e}.
Substituindo C_L=1{,}2, \mathrm{AR}=6 e e\approx1,
C_{D,i,\text{isolado}}=\frac{(1{,}2)^{2}}{\pi\cdot 6}=\frac{1{,}44}{6\pi}.
Se quiser um número:
6\pi\approx 18{,}8496,\qquad C_{D,i,\text{isolado}}\approx\frac{1{,}44}{18{,}8496}\approx 0{,}0764.
(Esse valor absoluto não é essencial para o percentual final, mas ajuda a ter intuição: arrasto induzido bem significativo para C_L=1{,}2.)

Passo 4

Modelo simplificado da formação em V (hipóteses claras):
  • Cada avião tem envergadura b e área S (iguais).
  • A formação em V com os dois seguidores “uma envergadura atrás do líder e a mesma distância um do outro, considerando as pontas das asas” é aproximada, em termos de envergadura efetiva, como tendo as pontas externas separadas por aproximadamente 2b. (Hipótese: a ponta externa esquerda do avião de esquerda está cerca de uma envergadura à esquerda da ponta externa direita do avião de direita; esse arranjo faz a extensão lateral total da formação ≈ 2b.)
  • A área total sustentada pela formação é S_{\text{total}}=3S.
    Com essas hipóteses, a envergadura efetiva da “asa equivalente” da formação é b_{\text{eff}}=2b. Então a razão de aspecto efetiva da formação é
\mathrm{AR}_{\text{eff}}=\frac{b_{\text{eff}}^{2}}{S_{\text{total}}}=\frac{(2b)^{2}}{3S}=\frac{4b^{2}}{3S}.
Como a razão de aspecto do avião isolado é \mathrm{AR}=b^{2}/S, obtemos
\mathrm{AR}_{\text{eff}}=\frac{4}{3}\,\mathrm{AR}.
Ou seja, a formação tem uma razão de aspecto efetiva 4/3 vezes a razão de aspecto de um avião isolado, segundo esta hipótese simples.

Passo 5

Agora calculo o coeficiente de arrasto induzido da formação (visto como uma “asa única” com área 3S e \mathrm{AR}_{\text{eff}}):
C_{D,i,\text{form}}=\frac{C_{L,\text{form}}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}_{\text{eff}}\,e}.
Importante: o coeficiente de sustentação representado por C_{L,\text{form}} deve ser o coeficiente médio em relação à área total 3S. Cada avião está gerando C_L=1{,}2 relativa à sua própria área S; o empuxo total é três vezes aquele de um avião, e a área total é três vezes, portanto o coeficiente médio da formação (em relação a 3S) é o mesmo:
C_{L,\text{form}}=C_L=1{,}2.
Substituindo \mathrm{AR}_{\text{eff}}=\tfrac{4}{3}\mathrm{AR} e e\approx1,
C_{D,i,\text{form}}=\frac{C_L^{2}}{\pi\,(\tfrac{4}{3}\mathrm{AR})}=\frac{3}{4}\cdot\frac{C_L^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}}=\frac{3}{4}\,C_{D,i,\text{isolado}}.
Portanto, o coeficiente de arrasto induzido da formação (visto por unidade de área total) é 3/4 do coeficiente de um avião isolado.

Passo 6

Comparo o arrasto induzido total da formação com a soma dos arrastos induzidos dos três aviões isolados.
  • Soma dos arrastos induzidos individuais (valor proporcional): D_{i,\text{somados}} \propto 3\cdot (qS)\cdot C_{D,i,\text{isolado}}.
  • Arrasto induzido da formação (como um sistema único): D_{i,\text{form}} \propto (q\cdot 3S)\cdot C_{D,i,\text{form}}=(q\cdot 3S)\cdot\left(\tfrac{3}{4}C_{D,i,\text{isolado}}\right).
    Fazendo a razão:
\frac{D_{i,\text{form}}}{D_{i,\text{somados}}}=\frac{(3S)\cdot\left(\tfrac{3}{4}C_{D,i,\text{isolado}}\right)}{3S\cdot C_{D,i,\text{isolado}}}=\frac{3}{4}=0{,}75.
Logo o arrasto induzido total da formação é 75\% do arrasto induzido total dos três aviões voando separadamente. A redução percentual é
\text{redução} = (1-0{,}75)\times 100\% = 25\%.çã

Passo 7

Interpretação e comentários práticos (para a prova — o que vale lembrar):
  • Assunções importantes que fiz: e\approx1 (asa ideal), a formação foi aproximada por uma envergadura efetiva igual a 2b e área total 3S. Essa é uma estimativa de primeira ordem; resultados mais precisos exigiriam integrar o campo de velocidade induzido (Biot–Savart) dado o posicionamento exato das linhas de vórtice e a distribuição real de circulação ao longo da envergadura.
  • A conclusão simples e prática: com a configuração descrita (seguidores uma envergadura atrás e espaçados uma envergadura entre si, medido pelas pontas), a formação reduz o arrasto induzido total em cerca de 25\%.
  • Em provas, vale explicar essas hipóteses e fazer o raciocínio por “AR efetiva” como apresentado — é compacto, justificável e dá o resultado esperado em estimativas de ordem de grandeza.

Resposta

25%

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