Questão 4: Verificar se o conjunto
e
com operações se soma e a operação produto por um escalar usual é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de soma e multiplicação escalar em .
O conteúdo é subespaço vetorial e iremos usar a definição: um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se
com as operações usuais de soma e multiplicação escalar em
O conteúdo é subespaço vetorial e iremos usar a definição: um subconjunto
- contém o vetor zero;
- é fechado sob soma;
- é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Para isso, precisamos de
e
. A segunda desigualdade é verdadeira, mas a primeira não se satisfaz porque
. Logo
logo falha a condição de conter o zero.
Passo 3
Podemos também checar fechamento sob multiplicação escalar para reforçar: tome
e um vetor qualquer de
, por exemplo
. Então
Mas
porque
. Portanto não há fechamento escalar.
Passo 4
Como não satisfaz pelo menos uma das condições necessárias (nem mesmo contém o vetor zero), concluímos que
não é subespaço vetorial de
.