Questão 4: Verificar se o conjunto A=\{(x, y) \mid x<0 e y \geq 0\} com operações se soma e a operação produto por um escalar usual é um subespaço vetorial de R^{2}.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x<0\text{ e }y\ge0\}
com as operações usuais de soma e multiplicação escalar em \mathbb{R}^2.
O conteúdo é subespaço vetorial e iremos usar a definição: um subconjunto A\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço vetorial se e somente se
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob soma;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a A. Para isso, precisamos de 0<0 e 0\ge0. A segunda desigualdade é verdadeira, mas a primeira não se satisfaz porque 0\not<0. Logo
(0,0)\notin A
logo falha a condição de conter o zero.

Passo 3

Podemos também checar fechamento sob multiplicação escalar para reforçar: tome \alpha=-1 e um vetor qualquer de A, por exemplo (-1,0). Então
\alpha\,( -1,0 ) = (1,0).
Mas (1,0)\notin A porque 1\not<0. Portanto não há fechamento escalar.

Passo 4

Como não satisfaz pelo menos uma das condições necessárias (nem mesmo contém o vetor zero), concluímos que A não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

Resposta

A não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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