Questão 3: Considere em P_{2} o produto interno
<p, q>=\int_{-1}^{1} p(x) q(x) d x
e sejam p=2 x e q=x^{3}. Verificar se p e q são ortogonais.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço P_{2} de polinômios de grau <=2 com o produto interno
\langle p,q\rangle = \int_{-1}^{1} p(x)\,q(x)\,dx
e pede para verificar se os polinômios p(x)=2x e q(x)=x^{3} são ortogonais, ou seja, se \langle p,q\rangle=0.

Passo 2

Lembrando que dois vetores (ou polinômios) são ortogonais exatamente quando o produto interno entre eles é zero:
p \perp q \quad\Longleftrightarrow\quad \langle p,q\rangle = 0.
Então vamos calcular
\langle p,q\rangle = \int_{-1}^{1} (2x)\,(x^{3})\,dx = \int_{-1}^{1} 2\,x^{4}\,dx.

Passo 3

Para calcular a integral, usamos a primitivação de x^{4}:
\int 2\,x^{4}\,dx = 2\;\frac{x^{5}}{5} = \frac{2\,x^{5}}{5}.
Logo,
\langle p,q\rangle = \left[\frac{2\,x^{5}}{5}\right]_{x=-1}^{x=1} = \frac{2\,(1)^{5}}{5} - \frac{2\,(-1)^{5}}{5} = \frac{2}{5} - \biggl(-\frac{2}{5}\biggr) = \frac{4}{5}.

Passo 4

Como obtivemos
\langle p,q\rangle = \frac{4}{5} \neq 0,
os polinômios p e q não são ortogonais em P_{2} com o produto interno dado.

Resposta

Os polinômios p(x)=2x e q(x)=x^{3} não são ortogonais, pois \langle p,q\rangle = \tfrac{4}{5}\neq 0.

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