Sejam \langle u, v\rangle o produto interno euclidiano em R^{3} \mathrm{e} u=(1,1,-1), v=(3,2,0), w= (0,-1,0) e k=3. Calcule as expressões dadas.
f) \|u-k v\|

Passo 1

O enunciado nos dá o produto interno euclidiano em \mathbb{R}^3 e pede o cálculo da norma de u - kv. Para isso, precisamos usar a definição da norma induzida por um produto interno, ou seja,
\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle},
e realizar operações vetoriais em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular o vetor u - kv. Como u = (1,1,-1), v = (3,2,0) e k=3, temos
u - kv = (1,1,-1) - 3\,(3,2,0) = (1-9,\;1-6,\;-1-0) = (-8,-5,-1).

Passo 3

Calcular a norma de u - kv usando
\|u - kv\| = \sqrt{\langle u-kv,\,u-kv\rangle},
que em coordenadas é a raiz da soma dos quadrados:
\|u - kv\| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 25 + 1} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.

Resposta

3\sqrt{10}

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