Questão 1. Verifique, se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique. O intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 x-7)^{n}}{n 7^{n}} é (0,7].
e afirma que o intervalo de convergência é (0,7]. A tarefa é verificar se essa afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar. Informações relevantes fornecidas:
A variável é x.
A série está escrita em potências de 2x-7 divididas por 7^{n} e por n, com fator (-1)^{n}.
Deve-se determinar o conjunto de x onde a série converge (intervalo de convergência), incluindo ou não os extremos.
Passo 2
Reescrever a série numa forma padrão ajuda a analisar a convergência. Observe que
Analisar a convergência da série em z. A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n} é a série de potências com coeficientes a_n=\dfrac{1}{n}. Para obter o raio de convergência use o teste da raiz (ou observe que é a série do tipo \sum z^{n}/n com raio 1):
calcule a n-ésima raiz do termo geral:
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1, segue que o limite da raiz é |z|. Pelo teste da raiz, a série converge se |z|<1 e diverge se |z|>1. Logo o raio de convergência em z é 1.
que é a série harmônica. Conhece-se que a série harmônica diverge (por exemplo pelo teste da integral ou por comparação). Logo a série diverge em x=0, então x=0 não pertence ao intervalo de convergência.
Passo 6
Analisar o extremo x=7. Para x=7 temos
z=-\frac{2\cdot 7-7}{7} = -\frac{7}{7}=-1.
A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n},
que é a série harmônica alternada. Pelo critério de Leibniz (teste da série alternada): se os termos em módulo 1/n são positivos, monotonicamente decrescentes e tendem a 0, então a série alternada converge. Aqui 1/n decresce para 0, portanto a série converge. A convergência é condicional, pois a série dos termos absolutos \sum 1/n diverge. Conclui-se que x=7 pertence ao intervalo de convergência.
Passo 7
Juntando tudo: a série converge para x tais que 0<x<7 (por raio) e converge também em x=7 (condicional), mas diverge em x=0. Assim o intervalo de convergência é exatamente (0,7]. A afirmativa do enunciado é, portanto, verdadeira.