Questão 1. Verifique, se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
O intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 x-7)^{n}}{n 7^{n}} é (0,7].

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x-7)^{n}}{n7^{n}}
e afirma que o intervalo de convergência é (0,7]. A tarefa é verificar se essa afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar. Informações relevantes fornecidas:
  • A variável é x.
  • A série está escrita em potências de 2x-7 divididas por 7^{n} e por n, com fator (-1)^{n}.
  • Deve-se determinar o conjunto de x onde a série converge (intervalo de convergência), incluindo ou não os extremos.

Passo 2

Reescrever a série numa forma padrão ajuda a analisar a convergência. Observe que
(-1)^{n}\frac{(2x-7)^{n}}{7^{n}}=\left(-\frac{2x-7}{7}\right)^{n}.
Portanto a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(-\frac{2x-7}{7}\right)^{n}.
Defina
z:= -\frac{2x-7}{7}.
Então a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{n},
uma forma bem conhecida.

Passo 3

Analisar a convergência da série em z. A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n} é a série de potências com coeficientes a_n=\dfrac{1}{n}. Para obter o raio de convergência use o teste da raiz (ou observe que é a série do tipo \sum z^{n}/n com raio 1):
calcule a n-ésima raiz do termo geral:
\sqrt[n]{\left|\frac{z^{n}}{n}\right|} = |z|\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n}}.
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1, segue que o limite da raiz é |z|. Pelo teste da raiz, a série converge se |z|<1 e diverge se |z|>1. Logo o raio de convergência em z é 1.

Passo 4

Retornar para a variável x. A condição |z|<1
\left|-\frac{2x-7}{7}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{|2x-7|}{7}<1.
Multiplicando por 7:
|2x-7|<7.
Isto é equivalente a
-7<2x-7<7.
Somando 7 em todas as partes:
0<2x<14,
e dividindo por 2:
0<x<7.
Portanto a convergência é garantida para x\in(0,7). Resta analisar os extremos x=0 e x=7.

Passo 5

Analisar o extremo x=0. Para x=0 temos
z=-\frac{2\cdot 0-7}{7} = -\frac{-7}{7}=1.
A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica. Conhece-se que a série harmônica diverge (por exemplo pelo teste da integral ou por comparação). Logo a série diverge em x=0, então x=0 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Analisar o extremo x=7. Para x=7 temos
z=-\frac{2\cdot 7-7}{7} = -\frac{7}{7}=-1.
A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n},
que é a série harmônica alternada. Pelo critério de Leibniz (teste da série alternada): se os termos em módulo 1/n são positivos, monotonicamente decrescentes e tendem a 0, então a série alternada converge. Aqui 1/n decresce para 0, portanto a série converge. A convergência é condicional, pois a série dos termos absolutos \sum 1/n diverge. Conclui-se que x=7 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 7

Juntando tudo: a série converge para x tais que 0<x<7 (por raio) e converge também em x=7 (condicional), mas diverge em x=0. Assim o intervalo de convergência é exatamente (0,7]. A afirmativa do enunciado é, portanto, verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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