Questão 1. Verifique, se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
A série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n(\ln n)^{5}} converge absolutamente.
N3

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2\,n(\ln n)^{5}}
e pede para verificar se a afirmativa “a série converge absolutamente” é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é \dfrac{(-1)^{n}}{2\,n(\ln n)^{5}}.
  • Para testar convergência absoluta, precisamos analisar a série dos valores absolutos dos termos, isto é,
\sum_{n=2}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{2\,n(\ln n)^{5}}\right| = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2\,n(\ln n)^{5}}.
O que se pede: decidir se a série acima converge (pois se a série dos valores absolutos converge, dizemos que a série original converge absolutamente).

Passo 2

Definição e ideia do método que vou usar (explicando devagar):
  • Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
  • A série dos valores absolutos aqui é \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{2\,n(\ln n)^{5}}. Como há um fator constante \dfrac{1}{2}, ele não altera convergência: basta testar \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{5}}.
  • Vou usar o Teste da Integral, que é um método básico e adequado quando os termos são de forma \dfrac{1}{n(\ln n)^p}. O Teste da Integral diz: se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x\geq N e a_n=f(n), então \sum_{n=N}^{\infty} a_n e \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento (ambos convergem ou ambos divergem).

Passo 3

Preparar a função para aplicar o Teste da Integral: definimos
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{5}},\qquad x\ge 2.
Primeiro verifico as hipóteses do teste:
  • f(x)>0 para x>1, logo para x\ge2 é positiva.
  • f é contínua em [2,\infty) porque \ln x não se anula nem é singular para x\ge2.
  • Preciso também que f seja decrescente em [2,\infty). Vou mostrar isso calculando a derivada de f.

Passo 4

Cálculo da derivada para verificar que f é decrescente:
f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-5}.
Derivando:
f'(x) = -x^{-2}(\ln x)^{-5} \;+\; x^{-1}\big(-5(\ln x)^{-6}\cdot\frac{1}{x}\big).
Colocando em fator comum:
f'(x) = -\frac{(\ln x)+5}{x^{2}(\ln x)^{6}}.
Para x\ge2 temos \ln x>0, portanto (\ln x)+5>0 e o denominador é positivo, o que implica f'(x)<0. Conclusão: f é decrescente em [2,\infty). Assim, todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 5

Aplicar o Teste da Integral calculando a integral imprópria:
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{5}}\,dx.
Use a substituição \,u=\ln x. Então \,du=\dfrac{1}{x}\,dx. Quando x=2 tem-se u=\ln 2; quando x\to\infty tem-se u\to\infty. A integral torna-se
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-5}\,du.
Essa é uma integral simples de potência. Como \int u^{-5}\,du = \int u^{-5}\,du = -\tfrac{1}{4}u^{-4} + C, temos
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-5}\,du = \lim_{R\to\infty}\left[-\frac{1}{4}u^{-4}\right]_{u=\ln 2}^{u=R} = \lim_{R\to\infty}\left(-\frac{1}{4}R^{-4} + \frac{1}{4}(\ln 2)^{-4}\right).
O termo R^{-4} vai para zero quando R\to\infty, logo a integral converge e vale
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{5}}\,dx = \frac{1}{4(\ln 2)^{4}} < \infty.

Passo 6

Conclusão pelo Teste da Integral: como a integral de f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{5}} de 2 até \infty converge, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{5}}
converge. Portanto, multiplicando por \dfrac{1}{2}, a série dos valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2\,n(\ln n)^{5}}
também converge.

Passo 7

Interpretação final e comentário didático: como a série dos valores absolutos converge, a série original \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2\,n(\ln n)^{5}} converge absolutamente. Observação adicional útil para a prova: séries do tipo
\sum_{n\ge 2}\frac{1}{n(\ln n)^{p}}
convergem se, e somente se, p>1. Aqui p=5>1, por isso a convergência absoluta era esperada; a demonstração acima com o Teste da Integral é um caminho direto e robusto.

Resposta

Verdadeira.

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