Use o Teorema 4.1 para obter
.
Passo 1
O enunciado pede para obter
onde a função é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
para . - Pede-se a transformada de Laplace
.
Passo 2
Vou usar o Teorema 4.1 (forma usual aplicada a potências inteiras de
), cuja afirmação é:
onde:
-
é um inteiro não negativo (aqui ); -
é o fatorial de , isto é ; -
é a variável complexa da transformada de Laplace e garante convergência da integral.
Passo 3
Aplicando o teorema para
obtemos diretamente:
Passo 4
Calculemos
para ficar explícito:
. Portanto
Passo 5
Para fixar melhor a ideia, mostro rapidamente como a mesma resposta vem da definição da transformada (isto é útil caso na prova o teorema não esteja memorizado). A definição é
Fazendo a substituição
resulta
e
, então
A integral
é
(função Gama), e para inteiros
. Assim
. Portanto obtemos de novo
válido para
(essa condição garante que a integral original converge).