Use o Teorema 4.1 para obter mathscr{L}{f(t)}.
f(t)=t^{3}

Passo 1

O enunciado pede para obter \mathscr{L}\{f(t)\} onde a função é f(t)=t^{3}.
Informações dadas:
  • f(t)=t^{3} para t\ge 0.
  • Pede-se a transformada de Laplace \mathscr{L}\{t^{3}\}.

Passo 2

Vou usar o Teorema 4.1 (forma usual aplicada a potências inteiras de t), cuja afirmação é:
\mathscr{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad \Re(s)>0,
onde:
  • n é um inteiro não negativo (aqui n=3);
  • n! é o fatorial de n, isto é n!=n\cdot(n-1)\cdots1;
  • s é a variável complexa da transformada de Laplace e \Re(s)>0 garante convergência da integral.

Passo 3

Aplicando o teorema para n=3 obtemos diretamente:
\mathscr{L}\{t^{3}\}=\frac{3!}{s^{4}}.

Passo 4

Calculemos 3! para ficar explícito: 3!=3\cdot2\cdot1=6. Portanto
\mathscr{L}\{t^{3}\}=\frac{6}{s^{4}}.

Passo 5

Para fixar melhor a ideia, mostro rapidamente como a mesma resposta vem da definição da transformada (isto é útil caso na prova o teorema não esteja memorizado). A definição é
\mathscr{L}\{t^{3}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t^{3}\,dt.
Fazendo a substituição u=st resulta t=\dfrac{u}{s} e dt=\dfrac{du}{s}, então
\int_{0}^{\infty} e^{-st}t^{3}dt=\int_{0}^{\infty} e^{-u}\left(\frac{u}{s}\right)^{3}\frac{du}{s} =\frac{1}{s^{4}}\int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{3}du.
A integral \int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{3}du é \Gamma(4) (função Gama), e para inteiros \Gamma(n+1)=n!. Assim \Gamma(4)=3!=6. Portanto obtemos de novo
\mathscr{L}\{t^{3}\}=\frac{6}{s^{4}},
válido para \Re(s)>0 (essa condição garante que a integral original converge).

Resposta

\mathscr{L}\{t^{3}\}=\dfrac{6}{s^{4}},\\ \Re(s)>0

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