Questão 3. Verifique que a equação é exata e resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, bora lá! A gente tem uma equação diferencial bem interessante para resolver. O enunciado pede pra verificar se a equação é exata e depois resolver o problema inicial $ y(1) = 1 $. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas. Basicamente, uma equação é exata quando ela pode ser escrita como a derivada total de uma função $ F(t, y) $. Vamos descobrir se é o caso dessa equação e, se for, resolver usando esse fato.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial pra facilitar a verificação de exatidão. A equação dada é:
Vamos colocar tudo no lado esquerdo para igualar a zero:
Agora, podemos identificar $ M(t, y) $ e $ N(t, y) $ na forma padrão das equações exatas $ M(t, y) , dt + N(t, y) , dy = 0 $:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $. Ou seja, queremos ver se:
Calculando:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t} $, a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função $ F(t, y) $ tal que:
Para encontrar $ F(t, y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ t $:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, derivamos $ F(t, y) $ em relação a $ y $ para encontrar $ h(y) $:
Sabemos que isso deve ser igual a $ N(t, y) $:
Simplificando:
Integrando em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntamos tudo pra escrever a função $ F(t, y) $:
Para encontrar o valor da constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(1) = 1 $:
Resposta
A solução do problema inicial é dada por:
Ou, reorganizando:
Essa é a solução implícita da equação diferencial com a condição inicial $ y(1) = 1 $.