Questão 3. Verifique que a equação é exata e resolva o PVI.
(2 t^2 y+4) d yd t=3-2 t y^2 ; y(1)=1

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente tem uma equação diferencial bem interessante para resolver. O enunciado pede pra verificar se a equação é exata e depois resolver o problema inicial $ y(1) = 1 $. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas. Basicamente, uma equação é exata quando ela pode ser escrita como a derivada total de uma função $ F(t, y) $. Vamos descobrir se é o caso dessa equação e, se for, resolver usando esse fato.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial pra facilitar a verificação de exatidão. A equação dada é:
(2 t^2 y + 4) dydt = 3 - 2 t y^2
Vamos colocar tudo no lado esquerdo para igualar a zero:
(2 t^2 y + 4) dydt - (3 - 2 t y^2) = 0
Agora, podemos identificar $ M(t, y) $ e $ N(t, y) $ na forma padrão das equações exatas $ M(t, y) , dt + N(t, y) , dy = 0 $:
M(t, y)
N(t, y)

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $. Ou seja, queremos ver se:
M
Calculando:
y
N
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t} $, a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função $ F(t, y) $ tal que:
F(t, y)
Para encontrar $ F(t, y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ t $:
dF = M(t, y) , dt + N(t, y) , dy
Integrando termo a termo:
F(t, y)

Passo 5

Agora, derivamos $ F(t, y) $ em relação a $ y $ para encontrar $ h(y) $:
F(t, y)
Sabemos que isso deve ser igual a $ N(t, y) $:
y
Simplificando:
h(y)
Integrando em relação a $ y $:
partial Fpartial y = partialpartial y (-3 t + t^2 y^2 + h(y)) = 2 t^2 y + h'(y)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos tudo pra escrever a função $ F(t, y) $:
F(t, y)
Para encontrar o valor da constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(1) = 1 $:
F(t, y) = -3 t + t^2 y^2 + 4 y = C

Resposta

A solução do problema inicial é dada por:
t^2 y^2 + 4 y - 3 t = 2
Ou, reorganizando:
t^2 y^2 + 4 y = 3 t + 2
Essa é a solução implícita da equação diferencial com a condição inicial $ y(1) = 1 $.

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