Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
Este é um caso de equação de Cauchy–Euler não homogênea. Para resolver, primeiro achamos a solução geral da homogênea usando o ansatz
, depois aplicamos o método de variação de parâmetros para obter uma particular.
Passo 2
Consideramos a homogênea
e fazemos
. Então
substituindo:
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular, fazemos a mudança de variável
Temos
Substituindo em
e usando
, chega-se a
Ou em forma padrão:
Passo 4
A homogênea em
é
Procurando
, obtemos o indicial
Assim
Passo 5
Aplicamos variação de parâmetros a
As soluções fundamentais são
,
. O Wronskiano é
As fórmulas de variação de parâmetros dão
Calcula-se
Então
Isso leva, após combinar termos, a
Passo 6
Voltando a
, com
, temos
portanto
Resposta
Combinando, a solução geral é