Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
2 x^2 y^prime prime+7 x y^prime+3 y=cos (raizx) (x>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
2x^2y''+7xy'+3y=cos(raizx), x>0
Este é um caso de equação de Cauchy–Euler não homogênea. Para resolver, primeiro achamos a solução geral da homogênea usando o ansatz y=x^m, depois aplicamos o método de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Consideramos a homogênea
2x^2y''+7xy'+3y=0
e fazemos y=x^m. Então
y'=m x^m-1, y''=m(m-1)x^m-2,
substituindo:
2x^2l[m(m-1)x^m-2r]+7xl[mx^m-1r]+3x^m=0 ;Longrightarrow; 2m(m-1)+7m+3=0
2m^2+5m+3=0 ;Longrightarrow; m=-5pmraiz25-244=-1,-3/2
Logo a solução homogênea é
yh=C1x^-1+C2x^-3/2

Passo 3

Para achar uma solução particular, fazemos a mudança de variável
t=raizx, y(x)=u(t)
Temos
dydx=u'(t)dtdx=u'2t, d^2ydx^2 =u''4t^2-u'4t^3
Substituindo em 2x^2y''+7xy'+3y=cos t e usando x=t^2, chega-se a
t^2u''+6t,u'+6u=2cos t
Ou em forma padrão:
u''+6tu'+6t^2u=2cos tt^2

Passo 4

A homogênea em u é
u''+6tu'+6t^2u=0
Procurando u=t^k, obtemos o indicial
k(k-1)+6k+6=0 ;Longrightarrow; k^2+5k+6=0 ;Longrightarrow; k=-2,;-3
Assim
uh=A,t^-2+B,t^-3

Passo 5

Aplicamos variação de parâmetros a
u''+p(t)u'+q(t)u=r(t), p(t)=6t,;q(t)=6t^2,; r(t)=2cos tt^2
As soluções fundamentais são y1=t^-2, y2=t^-3. O Wronskiano é
W=y1y2'-y1'y2 =t^-2(-3t^-4)-(-2t^-3)t^-3=-t^-6
As fórmulas de variação de parâmetros dão
up=-y1!integral!y2rWdt + y2!integral!y1rWdt
Calcula-se
y2rW=-2tcos t, y1rW=-2t^2cos t
Então
integral -2tcos t,dt=-2(tsin t+cos t), integral -2t^2cos t,dt=-2l(t^2sin t+2tcos t-2sin tr)
Isso leva, após combinar termos, a
up(t)=-2t^-2cos t+4t^-3sin t

Passo 6

Voltando a x, com t=raizx, temos
t^-2=1x, t^-3=1x^3/2,
portanto
yp(x)=-2xcos(raizx) +4x^3/2sin(raizx)

Resposta

Combinando, a solução geral é
boxed y(x) =C1x^-1+C2x^-3/2 -2xcos(raizx) +4x^3/2sin(raizx) ,

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