Questão 2. Considere a função a seguir.
f(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-8}{x^{3}-8}
Determine todas as assíntotas horizontais e verticais de f.
i) (0.25) Justificou que a reta x=2 é candidata a assíntota vertical.
ii) (0.6) Calculou corretamente pelo menos um dos limites \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x) ou \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x).
iii) (0.25) Justificou que como pelo menos um desses limites “explode”, a reta x=2 é efetivamente uma assíntota vertical.
iv) (0.3) Calculou corretamente \lim _{x \rightarrow \infty} f(x).
v) (0.3) Calculou corretamente \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x).
vi) (0.3) Escreveu que a reta y=1 é assíntota horizontal para os casos x \rightarrow \infty e x \rightarrow-\infty.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}+4x^{2}-8}{x^{3}-8}
e pede para determinar todas as assíntotas horizontais e verticais de f. Especificamente, vamos:
  • verificar candidatos a assíntota vertical (pontos onde o denominador zera);
  • calcular os limites laterais em qualquer candidato para confirmar se realmente “explodem” (tendem a \pm\infty);
  • calcular os limites em x\to\infty e x\to -\infty para identificar assíntotas horizontais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função racional tem numerador x^{3}+4x^{2}-8 e denominador x^{3}-8.
  • Zeros do denominador são candidatos a assíntotas verticais.
  • Para assíntota horizontal, precisamos dos limites quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Encontrar os zeros do denominador e fatorá-lo para ver possíveis candidatos a assíntota vertical.
Fatoriza-se o denominador usando diferença de cubos:
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3} = (x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).
Portanto o denominador zera em x=2. A quadrática x^{2}+2x+4 tem discriminante
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot4 = 4-16 = -12 < 0,
logo não tem raízes reais. Conclusão: o único ponto onde o denominador é zero (em \mathbb{R}) é x=2. Assim x=2 é a única candidata a assíntota vertical.

Passo 3

Verificar se em x=2 a função realmente tende a infinito (ou seja, se a reta x=2 é assíntota vertical). Primeiro avaliar o numerador em x=2:
\text{numerador em }2:\quad 2^{3}+4\cdot2^{2}-8 = 8 + 16 - 8 = 16 \neq 0.
Como o numerador não se anula em x=2 e o denominador se anula (com fator linear (x-2)), trata-se de uma singularidade do tipo pólo simples: a função tende a \pm\infty quando x\to2^\pm. Vamos justificar o sinal desses limites no próximo passo.

Passo 4

Analisar o sinal do denominador perto de x=2 para calcular os limites laterais.
Escrevemos o denominador como produto já fatorado:
x^{3}-8 = (x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).
Observação: a quadrática \bigl(x^{2}+2x+4\bigr) é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R} porque \Delta<0 e o coeficiente de x^{2} é positivo. Assim, perto de x=2 o fator que muda de sinal é apenas (x-2).
Como o numerador em x=2 é 16>0 e a quadrática é positiva, o sinal de f(x) próximo de x=2 é o sinal de \dfrac{+}{x-2}. Portanto:
  • Se x\to2^{+} então x-2>0 pequeno, logo f(x)\to +\infty.
  • Se x\to2^{-} então x-2<0 pequeno, logo f(x)\to -\infty.
Portanto os limites laterais são
\lim_{x\to2^{+}} f(x) = +\infty,\qquad \lim_{x\to2^{-}} f(x) = -\infty.

Passo 5

Conclusão sobre a assíntota vertical: como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites laterais em x=2 “explodem” para infinito, a reta x=2 é, de fato, uma assíntota vertical de f. Não existem outros candidatos reais, pois a única raiz real do denominador é x=2.

Passo 6

Agora vamos determinar assíntotas horizontais calculando os limites em x\to\infty e x\to -\infty. Como numerador e denominador têm o mesmo grau (grau 3), uma forma direta é dividir numerador e denominador por x^{3}:
f(x)=\frac{x^{3}+4x^{2}-8}{x^{3}-8} = \frac{1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{8}{x^{3}}}{1-\dfrac{8}{x^{3}}}.
Agora tomar limites:
Para x\to\infty todos os termos com 1/x e 1/x^{3} tendem a 0, então
\lim_{x\to\infty} f(x)=\frac{1+0-0}{1-0}=1.
Para x\to -\infty os termos \dfrac{4}{x} e \dfrac{8}{x^{3}} também tendem a 0 (lembrando que 1/x\to0 independentemente do sinal, o limite é 0), então
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\frac{1+0-0}{1-0}=1.
Assim ambos os limites no infinito valem 1.

Passo 7

Uma observação adicional útil, que ajuda a entender “de que lado” a função se aproxima de 1: subtrair 1 de f para ver o decaimento.
f(x)-1=\frac{x^{3}+4x^{2}-8}{x^{3}-8}-1=\frac{\bigl(x^{3}+4x^{2}-8\bigr)-\bigl(x^{3}-8\bigr)}{x^{3}-8} =\frac{4x^{2}}{x^{3}-8}.
Para x\to\infty temos f(x)-1\sim \dfrac{4x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{4}{x}>0 pequeno, logo f(x) aproxima-se de 1 por cima. Para x\to -\infty o numerador é positivo e o denominador \sim x^{3} é negativo grande, logo f(x)-1 é negativo pequeno e f(x) aproxima-se de 1 por baixo. Isso confirma que y=1 é a assíntota horizontal para ambos os lados.

Resposta

Assíntota vertical: x=2
Assíntota horizontal: y=1

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