Questão 2. Considere a função a seguir.
Determine todas as assíntotas horizontais e verticais de
.
i) (0.25) Justificou que a reta
é candidata a assíntota vertical.
ii) (0.6) Calculou corretamente pelo menos um dos limites
ou
.
iii) (0.25) Justificou que como pelo menos um desses limites “explode”, a reta
é efetivamente uma assíntota vertical.
iv) (0.3) Calculou corretamente
.
v) (0.3) Calculou corretamente
.
vi) (0.3) Escreveu que a reta
é assíntota horizontal para os casos
e
.
i) (0.25) Justificou que a reta
ii) (0.6) Calculou corretamente pelo menos um dos limites
iii) (0.25) Justificou que como pelo menos um desses limites “explode”, a reta
iv) (0.3) Calculou corretamente
v) (0.3) Calculou corretamente
vi) (0.3) Escreveu que a reta
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar todas as assíntotas horizontais e verticais de
. Especificamente, vamos:
- verificar candidatos a assíntota vertical (pontos onde o denominador zera);
- calcular os limites laterais em qualquer candidato para confirmar se realmente “explodem” (tendem a
); - calcular os limites em
e para identificar assíntotas horizontais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função racional tem numerador
e denominador . - Zeros do denominador são candidatos a assíntotas verticais.
- Para assíntota horizontal, precisamos dos limites quando
.
Passo 2
Encontrar os zeros do denominador e fatorá-lo para ver possíveis candidatos a assíntota vertical.
Fatoriza-se o denominador usando diferença de cubos:
Portanto o denominador zera em
. A quadrática
tem discriminante
logo não tem raízes reais. Conclusão: o único ponto onde o denominador é zero (em
) é
. Assim
é a única candidata a assíntota vertical.
Passo 3
Verificar se em
a função realmente tende a infinito (ou seja, se a reta
é assíntota vertical). Primeiro avaliar o numerador em
:
Como o numerador não se anula em
e o denominador se anula (com fator linear
), trata-se de uma singularidade do tipo pólo simples: a função tende a
quando
. Vamos justificar o sinal desses limites no próximo passo.
Passo 4
Analisar o sinal do denominador perto de
para calcular os limites laterais.
Escrevemos o denominador como produto já fatorado:
Observação: a quadrática
é sempre positiva para todo
porque
e o coeficiente de
é positivo. Assim, perto de
o fator que muda de sinal é apenas
.
Como o numerador em
é
e a quadrática é positiva, o sinal de
próximo de
é o sinal de
. Portanto:
- Se
então pequeno, logo . - Se
então pequeno, logo .
Portanto os limites laterais são
Passo 5
Conclusão sobre a assíntota vertical: como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites laterais em
“explodem” para infinito, a reta
é, de fato, uma assíntota vertical de
. Não existem outros candidatos reais, pois a única raiz real do denominador é
.
Passo 6
Agora vamos determinar assíntotas horizontais calculando os limites em
e
. Como numerador e denominador têm o mesmo grau (grau
), uma forma direta é dividir numerador e denominador por
:
Agora tomar limites:
Para
todos os termos com
e
tendem a
, então
Para
os termos
e
também tendem a
(lembrando que
independentemente do sinal, o limite é
), então
Assim ambos os limites no infinito valem
.
Passo 7
Uma observação adicional útil, que ajuda a entender “de que lado” a função se aproxima de
: subtrair
de
para ver o decaimento.
Para
temos
pequeno, logo
aproxima-se de
por cima. Para
o numerador é positivo e o denominador
é negativo grande, logo
é negativo pequeno e
aproxima-se de
por baixo. Isso confirma que
é a assíntota horizontal para ambos os lados.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal: