Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê. Não é permitida a utilização da Regra de L’Hospital nesta prova. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x^{2}+2 x-8}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x^{2}+2x-8}.
Informações dadas e pedido:
A expressão a avaliar é \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+2x-8}.
O ponto de interesse é x\to 2.
Precisa-se dizer se o limite existe e, se existir, calcular o valor.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituição direta x=2 para ver se a expressão já fornece o limite.
Calcular numerador e denominador em x=2:
\text{numerador}:\;2^{3}-8=8-8=0,
\text{denominador}:\;2^{2}+2\cdot2-8=4+4-8=0.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso significa que a expressão não decide o limite por substituição imediata — precisamos manipular algébrica ou geometricamente a função para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma técnica clássica para 0/0 com polinômios é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns. Vou ensinar a fatoração do numerador usando a fórmula da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aqui a=x e b=2, então
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3}=(x-2)(x^{2}+2x+4).
Expliquei a fórmula: ela é derivada da multiplicação e você pode verificar expandindo o produto (x-2)(x^{2}+2x+4).
Passo 4
Agora fatorar o denominador x^{2}+2x-8. Para fatorar um quadrático procuramos dois números cujo produto seja -8 e soma seja 2. Esses números são 4 e -2, mas atenção: para o produto -8 e soma 2 seria 4 e -2 — isso dá 4+(-2)=2 e 4\cdot(-2)=-8. Assim
x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2).
Também se pode encontrar as raízes resolvendo x^{2}+2x-8=0; as raízes são x=2 e x=-4, confirmando a fatoração.
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original obtemos, para x\neq 2,
Como estamos estudando o limite quando x\to 2, podemos cancelar o fator comum (x-2) — isso é válido porque o limite considera valores de x diferentes de 2 que se aproximam de 2. Após o cancelamento ficamos com a função simplificada, para x\neq 2:
\frac{x^{2}+2x+4}{x+4}.
Passo 6
A função simplificada \dfrac{x^{2}+2x+4}{x+4} é contínua em x=2 (o denominador em x=2 é 2+4=6\neq0), então o limite quando x\to2 é simplesmente o valor dessa função em x=2. Substituindo:
Interpretação final: a indeterminação inicial 0/0 era do tipo removível porque havia um fator comum (x-2) que causava zero no numerador e no denominador. Após cancelar esse fator, a função tem limite finito e igual a 2. Note que a função original não está definida em x=2 (divisão por zero), mas o limite existe e vale 2.