Questão 1 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{3}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-z, z-x, 2 x-2 z);

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad T(x,y,z) = (x - z,\; z - x,\; 2x - 2z),
e pede para verificar se T é linear e, em caso afirmativo, determinar seu posto e sua nulidade.

Passo 2

As coordenadas de T(x,y,z) são combinações lineares de x,y,z, logo T\bigl(u+v\bigr)=T(u)+T(v) e T(\lambda u)=\lambda T(u). Portanto T é linear.

Passo 3

Para achar \ker(T), resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0) \;\Longleftrightarrow\; x - z = 0, \;z - x = 0, \;2x - 2z = 0
que dá x=z sem restrição em y.
Logo
\ker(T)=\{(t,s,t)\mid t,s\in\mathbb{R}\},
dimensão da \ker(T) (nulidade) é 2.

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
\dim(\mathbb{R}^3)=\nulidade(T)+\posto(T) \;\Longrightarrow\; 3 = 2 + \posto(T)
daí \posto(T)=1.

Resposta

T é linear. \mathrm{posto}(T)=1. \mathrm{nulidade}(T)=2.

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