Questão 1 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{3}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(0,0);

Passo 1

O enunciado define \displaystyle T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2
por
T(x,y,z)=(0,0).
O conteúdo é transformações lineares e o teorema do posto–nulidade, que relaciona \dim V, posto e nulidade.

Passo 2

Para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar c valem as igualdades abaixo:
T(u+v)=(0,0)=T(u)+T(v)
T(cu)=(0,0)=c\,T(u)
logo T é linear.

Passo 3

A imagem de T é \{(0,0)\}. Então
\dim\bigl(\mathrm{Im}(T)\bigr)=0,
isto é, o posto de T é 0.

Passo 4

O núcleo de T é todo \mathbb{R}^3, pois T(x,y,z)=(0,0) para todo (x,y,z). Logo
\dim\bigl(\ker(T)\bigr)=3,
isto é, a nulidade de T é 3.

Resposta

T é linear. posto 0, nulidade 3.

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