Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine
valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
em
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se a função
satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo
e, em caso positivo, encontrar os pontos
dados pelo teorema. Vamos usar teoria de funções contínuas e diferenciáveis, e o enunciado clássico de Rolle.
Passo 2
A função
é soma de uma exponencial composta e de um polinômio. Como exponenciais e polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo
, temos que
é contínua em
e diferenciável em
, como exige Rolle.
Passo 3
Agora vamos checar se
. Calculando:
Passo 4
Como
, a condição de valores iguais nas extremidades está satisfeita.
Passo 5
Vamos achar
e resolver
. Derivando:
Passo 6
Para
precisamos de
Como
para todo
, a única solução é
, que pertence a
. Portanto, existe exatamente um ponto fornecido pelo Teorema de Rolle, que é
.
Resposta
O Teorema de Rolle vale para
em
e o ponto
satisfazendo
é
.