2^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
gb(x)=e^x^2+x^2 em [-1,1]

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a função g(x)=e^x^2+x^2 satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo [-1,1] e, em caso positivo, encontrar os pontos c dados pelo teorema. Vamos usar teoria de funções contínuas e diferenciáveis, e o enunciado clássico de Rolle.

Passo 2

A função g(x)=e^x^2+x^2 é soma de uma exponencial composta e de um polinômio. Como exponenciais e polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo R, temos que g é contínua em [-1,1] e diferenciável em (-1,1), como exige Rolle.

Passo 3

Agora vamos checar se g(-1)=g(1). Calculando:
g(1)=e^1^2+1^2=e+1,
g(-1)=e^(-1)^2+(-1)^2=e+1

Passo 4

Como g(-1)=g(1)=e+1, a condição de valores iguais nas extremidades está satisfeita.

Passo 5

Vamos achar g'(x) e resolver g'(c)=0. Derivando:
g'(x)=ddxl(e^x^2r)+ddx(x^2)=2xe^x^2+2x=2xl(e^x^2+1r)

Passo 6

Para g'(c)=0 precisamos de
2cl(e^c^2+1r)=0
Como e^c^2+1>0 para todo c, a única solução é c=0, que pertence a (-1,1). Portanto, existe exatamente um ponto fornecido pelo Teorema de Rolle, que é c=0.

Resposta

O Teorema de Rolle vale para g em [-1,1] e o ponto c satisfazendo g'(c)=0 é c=0.

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