Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
Estamos trabalhando com a função
. O objetivo é: (i) resolver
usando o método de completar o quadrado; (ii) esboçar o gráfico de
; (iii) encontrar a inversa de
, restringindo domínio e contradomínio se necessário. Vamos usar teoria de parábolas, forma canônica e resolução de equações quadráticas.
Passo 2
Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de
:
Dentro do colchete, somamos e subtraímos
:
Logo,
Passo 3
Agora, para resolver
, basta igualar a forma canônica a zero:
Portanto
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
:
- É uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de
é ). - Vértice em
. - Interceptos no eixo x:
e . - Intercepto no eixo y:
. - Domínio: todos os reais.
- Imagem:
.
Passo 5
Para obter a inversa, restringimos o domínio a regiões monotônicas. Partindo de
, reorganizamos:
Pela fórmula de Bhaskara,
Escolhendo o ramo que mantém o sinal de
:
- Para o ramo crescente em
, usamos o sinal “−”:
- Para o ramo decrescente em
, usamos o sinal “+”:
Resposta
As raízes de
são
e
. A forma canônica é
com vértice em
e concavidade para baixo. O gráfico intercepta o eixo x em
e
e o eixo y em
. Para obter a inversa, restringimos o domínio e temos:
no ramo em
, e
no ramo em
.