Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=-2 x^2+7 x-3

Passo 1

Estamos trabalhando com a função f(x)=-2x^2+7x-3. O objetivo é: (i) resolver f(x)=0 usando o método de completar o quadrado; (ii) esboçar o gráfico de y=f(x); (iii) encontrar a inversa de f, restringindo domínio e contradomínio se necessário. Vamos usar teoria de parábolas, forma canônica e resolução de equações quadráticas.

Passo 2

Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de x^2:
f(x)=-2l(x^2-tfrac72xr)-3
Dentro do colchete, somamos e subtraímos (tfrac74)^2=tfrac4916:
x^2-tfrac72x+tfrac4916-tfrac4916
Logo,
f(x)=-2l[(x-tfrac74)^2-tfrac4916r]-3 =-2(x-tfrac74)^2+tfrac498-3 =-2(x-tfrac74)^2+tfrac258

Passo 3

Agora, para resolver f(x)=0, basta igualar a forma canônica a zero:
-2(x-tfrac74)^2+tfrac258=0
(x-tfrac74)^2=tfrac2516implies x-tfrac74=pmtfrac54
Portanto
x=tfrac74pmtfrac54; Rightarrow x=3;ou;x=tfrac12

Passo 4

Para esboçar o gráfico de y=f(x):
  • É uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 é -2).
  • Vértice em (tfrac74,tfrac258).
  • Interceptos no eixo x: (tfrac12,0) e (3,0).
  • Intercepto no eixo y: (0,-3).
  • Domínio: todos os reais.
  • Imagem: .

Passo 5

Para obter a inversa, restringimos o domínio a regiões monotônicas. Partindo de y=-2x^2+7x-3, reorganizamos:
2x^2-7x+(3+y)=0
Pela fórmula de Bhaskara,
x=7pmraiz49-8(3+y)4 =7pmraiz25-8y4
Escolhendo o ramo que mantém o sinal de x-tfrac74:
  • Para o ramo crescente em f^-1(y)=7-raiz25-8y4, y<=tfrac258 , usamos o sinal “−”:
[tfrac74,infty)
  • Para o ramo decrescente em f^-1(y)=7+raiz25-8y4, y<=tfrac258 , usamos o sinal “+”:

Resposta

As raízes de f(x)=0 são x=tfrac12 e x=3. A forma canônica é
f(x)=-2(x-tfrac74)^2+tfrac258,
com vértice em (tfrac74,tfrac258) e concavidade para baixo. O gráfico intercepta o eixo x em (tfrac12,0) e (3,0) e o eixo y em (0,-3). Para obter a inversa, restringimos o domínio e temos:
f^-1(y)=7-raiz25-8y4, y<=tfrac258,
no ramo em f^-1(y)=7+raiz25-8y4, y<=tfrac258, , e
[tfrac74,infty)
no ramo em .

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